Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số, trong đó tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực.[1]
Bài này chỉ viết về những ánh xạ đơn trị .
Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xto Y}
∈
{displaystyle in }
∈
{displaystyle in }
Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu
y
=
f
(
x
)
{displaystyle y=f(x)}
∀
x
∈
X
,
∃
!
y
∈
Y
,
y
=
f
(
x
)
{displaystyle forall xin X,exists !yin Y,y=f(x)}
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.[2]
Với mỗi
y
∈
Y
{displaystyle yin Y}
f
−
1
(
y
)
{displaystyle f^{-1}(y)}
f
−
1
(
y
)
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
=
y
}
{displaystyle f^{-1}(y)={xin X|f(x)=y}}
Với mỗi tập con
A
⊂
X
{displaystyle Asubset X}
x
∈
A
{displaystyle xin A}
f
(
A
)
=
{
f
(
x
)
|
x
∈
A
}
{displaystyle f(A)={f(x)|xin A}}
Với mỗi tập con
B
⊂
Y
{displaystyle Bsubset Y}
f
(
x
)
∈
B
{displaystyle f(x)in B}
f
−
1
(
B
)
{displaystyle f^{-1}(B)}
f
−
1
(
B
)
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
∈
B
}
{displaystyle f^{-1}(B)={xin X|f(x)in B}}
Trong đối sánh tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng hoàn toàn có thể định nghĩa :
- Một ánh xạ F { displaystyle { mathcal { F } } }
F { displaystyle { mathcal { F } } }x ∈ X { displaystyle x in X }
F { displaystyle { mathcal { F } } }y ∈ Y { displaystyle y in Y }
Vài đặc thù cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]
- Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
- A = ∅ ⇔ f ( A ) = ∅ { displaystyle A = emptyset , Leftrightarrow f ( A ) = emptyset }
- Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
- A ⊂ B { displaystyle A subset B }
⇒ f ( A ) ⊂ f ( B ) { displaystyle Rightarrow f ( A ) subset f ( B ) }
- Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
- f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A ) ∩ f ( B ) { displaystyle f ( A cap B ) subset f ( A ) cap f ( B ) }
- Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
- f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) { displaystyle f ( A cup B ) = f ( A ) cup f ( B ) }
Toàn ánh, đơn ánh và tuy nhiên ánh[sửa|sửa mã nguồn]
- Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y[4]
-
- f ( X ) = Y { displaystyle f ( X ) = Y }
- f ( X ) = Y { displaystyle f ( X ) = Y }
- hay
- ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X : f ( x ) = y { displaystyle forall y in Y, exists x in X : f ( x ) = y }
- ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X : f ( x ) = y { displaystyle forall y in Y, exists x in X : f ( x ) = y }
- Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.[5]
- ∀ x 1, x 2 ∈ X : x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) { displaystyle forall x_ { 1 }, x_ { 2 } in X : x_ { 1 } neq x_ { 2 } Rightarrow f ( x_ { 1 } ) neq f ( x_ { 2 } ) }
- hay
- ∀ x 1, x 2 ∈ X : f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 { displaystyle forall x_ { 1 }, x_ { 2 } in X : f ( x_ { 1 } ) = f ( x_ { 2 } ) Rightarrow x_ { 1 } = x_ { 2 } }
- Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ “onto” (từ X lên Y).[4]
Một số ánh xạ đặc biệt quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]
- Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x ∈ { displaystyle in }y 0 { displaystyle y_ { 0 } }
∈ { displaystyle in }
- Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.[5]
- Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con X ⊂ Y { displaystyle X subset Y }
x
∈
X{displaystyle xin X}
đơn ánh chính tắc).[5] Khi đó ta ký hiệu f: X ↪ { displaystyle hookrightarrow }f : X → Y { displaystyle f : X to Y }f ( X ) ⊂ Y { displaystyle f ( X ) subset Y }
f ( X ) ⊂ Y { displaystyle f ( X ) subset Y }
Các phép toán[sửa|sửa mã nguồn]
Ánh xạ hợp[sửa|sửa mã nguồn]
Cho hai ánh xạ
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xto Y}
và
g
:
Y
→
Z
{displaystyle g:Yto Z}
g
∘
f
{displaystyle gcirc f}
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))}
Một số đặc thù của ánh xạ hợp
- Nếu ( g ∘ f ) { displaystyle ( g circ f ) }
- Nếu ( g ∘ f ) { displaystyle ( g circ f ) }
- Nếu ( g ∘ f ) { displaystyle ( g circ f ) }
Ánh xạ nghịch đảo[sửa|sửa mã nguồn]
Cho ánh xạ
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xto Y}
là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ
g
:
Y
→
X
{displaystyle g:Yto X}
∀
x
∈
X
:
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
x
{displaystyle forall xin X:(gcirc f)(x)=x}
∀
y
∈
Y
:
(
f
∘
g
)
(
y
)
=
y
{displaystyle forall yin Y:(fcirc g)(y)=y}
thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là
f
−
1
{displaystyle f^{-1}}
Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là tuy nhiên ánh. [ 6 ]
Ánh xạ thu hẹp[sửa|sửa mã nguồn]
Cho ánh xạ
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xto Y}
và một tập con
E
⊂
X
{displaystyle Esubset X}
f
{displaystyle f}
E
{displaystyle E}
E
{displaystyle E}
vào
Y
{displaystyle Y}
f
|
E
{displaystyle f|_{E}}
f
|
E
(
x
)
=
f
(
x
)
{displaystyle f|_{E}(x)=f(x)}
Ánh xạ lan rộng ra[sửa|sửa mã nguồn]
Cho ánh xạ
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xto Y}
và một tập hợp
F
{displaystyle F}
X
⊂
F
{displaystyle Xsubset F}
f
{displaystyle f}
tới
F
{displaystyle F}
là một ánh xạ
f
~
{displaystyle {tilde {f}}}
F
{displaystyle F}
vào
Y
{displaystyle Y}
sao cho
∀
x
∈
X
:
f
~
(
x
)
=
f
(
x
)
{displaystyle forall xin X:{tilde {f}}(x)=f(x)}
Các khái niệm ánh xạ khác ( dịch từ tiếng Anh )[sửa|sửa mã nguồn]
- ^ Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 12
- ^ a b Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 11
- ^ a b c Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 13
- ^ a b c Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 15
- ^ a b c Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 14
- ^
Hoàng Xuân Sính (1972), Định lí 5, tr. 16
- ^ a b Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 17
Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]
- Mapping (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
- Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, Nhà xuất bản Giáo dục
