Hình tứ diện
Tứ diện là một hình có bốn đỉnh trong không gian ba chiều. Tứ diện có bốn mặt là bốn tam giác và có sáu cạnh. Đây là dạng hình khối ba chiều đơn giản nhất, cũng như tam giác là dạng hình phẳng hai chiều đơn giản nhất.
Hình động của khối tứ diện
Tứ diện có bốn đỉnh A, B, C, D thường được ký hiệu là (ABCD). Bất kì điểm nào trong số A, B, C, D cũng có thể được coi là đỉnh; còn mặt tam giác đối diện với nó được gọi là đáy. Chẳng hạn, nếu chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.
- Trọng tuyến là một trong bốn đường hạ từ một đỉnh xuống trọng tâm của tam giác mặt đáy. Khái niệm trọng tuyến của tứ diện có sự liên hệ với trung tuyến trong tam giác.
- Đường cao của tứ diện là một trong bốn đoạn thẳng hạ vuông góc từ một đỉnh xuống mặt đáy.
- Thể tích của tứ diện có thể được tính như đối với hình chóp, bằng một phần ba tích đường cao và diện tích mặt đáy.
Tứ diện đều[sửa|sửa mã nguồn]
Khi các mặt bên đều là các tam giác đều thì ta có tứ diện đều. Tứ diện đều có cạnh bằng a thì có chiều cao bằng
6
3
a
{displaystyle {frac {sqrt {6}}{3}}a}
2
12
a
3
{displaystyle {frac {sqrt {2}}{12}}a^{3}}
Tứ diện đều là một trong năm loại khối đa diện đều .
Các công thức của tứ diện[sửa|sửa mã nguồn]
Cho tứ diện ABCD có BC = a, AC = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f và thể tích V .
- Công thức tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh:
V
=
1
12
a
2
d
2
(
b
2
+
e
2
+
c
2
+
f
2
−
a
2
−
d
2
)
+
b
2
e
2
(
a
2
+
d
2
+
c
2
+
f
2
−
b
2
−
e
2
)
+
c
2
f
2
(
a
2
+
d
2
+
b
2
+
e
2
−
c
2
−
f
2
)
−
(
a
b
c
)
2
−
(
a
e
f
)
2
−
(
b
d
f
)
2
−
(
c
d
e
)
2
{displaystyle V={frac {1}{12}}{sqrt {a^{2}d^{2}(b^{2}+e^{2}+c^{2}+f^{2}-a^{2}-d^{2})+b^{2}e^{2}(a^{2}+d^{2}+c^{2}+f^{2}-b^{2}-e^{2})+c^{2}f^{2}(a^{2}+d^{2}+b^{2}+e^{2}-c^{2}-f^{2})-(abc)^{2}-(aef)^{2}-(bdf)^{2}-(cde)^{2}}}}
- Công thức tính góc giữa 2 cạnh đối:
c
o
s
(
A
B
→
,
C
D
→
)
=
a
2
+
d
2
−
b
2
−
e
2
2
c
f
{displaystyle cos({overrightarrow {AB}},{overrightarrow {CD}})={frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2}}{2cf}}}
- Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:
d
(
A
B
,
C
D
)
=
12
V
4
c
2
f
2
−
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
e
2
)
2
{displaystyle d(AB,CD)={frac {12V}{sqrt {4c^{2}f^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2})^{2}}}}}
- Công thức tính góc nhị diện: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích hai tam giác BCD, ACD. Ta có:
c
o
s
[
C
D
]
=
f
2
(
a
2
+
e
2
+
b
2
+
d
2
−
f
2
−
2
c
2
)
−
(
a
2
−
e
2
)
(
b
2
−
d
2
)
16
S
1
S
2
{displaystyle cos[CD]={frac {f^{2}(a^{2}+e^{2}+b^{2}+d^{2}-f^{2}-2c^{2})-(a^{2}-e^{2})(b^{2}-d^{2})}{16S_{1}S_{2}}}}
![{displaystyle cos[CD]={frac {f^{2}(a^{2}+e^{2}+b^{2}+d^{2}-f^{2}-2c^{2})-(a^{2}-e^{2})(b^{2}-d^{2})}{16S_{1}S_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f22e376b63a58eef79d832650acc317fbdbe2d)
- Công thức xác định đường vuông góc chung:
Đường vuông góc chung của AB và CD cắt AB tại I. Đặt
A
I
→
=
k
A
B
→
{displaystyle {overrightarrow {AI}}=k{overrightarrow {AB}}}
k
=
f
2
(
2
c
2
+
b
2
+
d
2
−
a
2
−
e
2
)
+
(
b
2
−
d
2
)
(
a
2
−
e
2
−
b
2
+
d
2
)
4
c
2
f
2
−
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
e
2
)
2
{displaystyle k={frac {f^{2}(2c^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-e^{2})+(b^{2}-d^{2})(a^{2}-e^{2}-b^{2}+d^{2})}{4c^{2}f^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2})^{2}}}}
- Thể tích V của tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và các góc B S C ^ = α, A S C ^ = β, A S B ^ = γ { displaystyle { widehat { BSC } } = alpha, { widehat { ASC } } = beta, { widehat { ASB } } = gamma }
V
=
a
b
c
6
1
+
2
c
o
s
α
.
c
o
s
β
.
c
o
s
γ
−
c
o
s
2
α
−
c
o
s
2
β
−
c
o
s
2
γ
{displaystyle V={frac {abc}{6}}{sqrt {1+2cosalpha .cosbeta .cosgamma -cos^{2}alpha -cos^{2}beta -cos^{2}gamma }}}
