Nói chung, toán học thuần túy là toán học nghiên cứu các khái niệm hoàn toàn trừu tượng. Đây là một loại hoạt động toán học có thể nhận biết được từ thế kỷ 19 trở đi,[1] trái ngược với xu hướng đáp ứng nhu cầu định vị, thiên văn học, vật lý, kinh tế, kỹ thuật,…
Quan điểm khác là toán học thuần túy không phải là toán học ứng dụng : hoàn toàn có thể nghiên cứu và điều tra những thực thể trừu tượng về thực chất nội tại của chúng và không chăm sóc đến phương pháp chúng biểu lộ trong quốc tế thực. [ 2 ] Mặc dù những quan điểm thuần túy và vận dụng là những vị trí triết học riêng không liên quan gì đến nhau, trong trong thực tiễn có nhiều sự trùng lặp trong hoạt động giải trí của những nhà toán học thuần túy và ứng dụng .Để tăng trưởng những quy mô đúng chuẩn để miêu tả quốc tế thực, nhiều nhà toán học vận dụng những công cụ và kỹ thuật thường được coi là toán học ” thuần túy “. Mặt khác, nhiều nhà toán học thuần túy rút ra những hiện tượng kỳ lạ tự nhiên và xã hội như thể nguồn cảm hứng cho điều tra và nghiên cứu trừu tượng của họ .
Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại là những người sớm nhất phân biệt giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng. Plato đã giúp tạo khoảng cách giữa “số học”, bây giờ gọi là lý thuyết số, và “hậu cần”, bây giờ được gọi là số học. Plato coi logic (số học) là thích hợp cho các doanh nhân và chiến sĩ chiến tranh, những người “phải học nghệ thuật của con số hoặc họ sẽ không biết làm thế nào để sắp xếp quân đội” và số học (lý thuyết số) phù hợp với các triết gia “chúng đã phát sinh ra khỏi biển thay đổi và giữ chân thực thể”.[3] Euclid của Alexandria, khi được hỏi bởi một trong những sinh viên của ông về việc sử dụng hình học như thế nào, đã yêu cầu nô lệ của mình để cung cấp cho các học sinh của ông ba xu, “vì ông ta phải đạt được những gì mình học được”.[4] Nhà toán học người Hy Lạp Apollonius xứ Perga được hỏi về tính hữu ích của một số định lý của ông trong Sách IV của bộ sách Hình học và ông tự hào khẳng định[5]:
Chúng xứng danh được gật đầu vì quyền lợi mà chúng tự diễn đạt, trong cùng một cách như chúng tôi đồng ý nhiều điều khác trong toán học cho nguyên do và không có nguyên do khác .
Và vì nhiều kết quả của ông không phù hợp với khoa học hoặc kỹ thuật của thời đại của ông, Apollonius tiếp tục biện luận trong lời mở đầu của cuốn sách Hình nón thứ năm rằng chủ đề này là một trong những điều mà “… có vẻ xứng đáng nghiên cứu vì lợi ích mà chúng tạo ra. “[5]
Thế kỷ 19[sửa|sửa mã nguồn]
Thuật ngữ này được ghi nhận trong tiêu đề rất đầy đủ của quản trị Sadleirian của Toán học thuần túy, được xây dựng ( như thể một chức giáo sư ) vào giữa thế kỷ XIX. Ý tưởng về một kỷ luật riêng không liên quan gì đến nhau của toán học thuần túy hoàn toàn có thể đã nổi lên vào thời gian đó. Thế hệ của Carl Friedrich Gauss không có sự phân biệt thoáng đãng, giữa thuần túy và vận dụng. Trong những năm tiếp theo, chuyên môn hóa và chuyên nghiệp hóa ( đặc biệt quan trọng trong giải pháp Weierstrass để nghiên cứu và phân tích toán học ) khởi đầu làm cho một ranh giới rõ ràng hơn .
Thế kỷ 20[sửa|sửa mã nguồn]
Những nhà toán học vào thế kỷ XX đã dùng chiêu thức tiên đề, bị tác động ảnh hưởng can đảm và mạnh mẽ bởi ví dụ của David Hilbert. Các công thức hài hòa và hợp lý của toán học thuần túy được gợi ý bởi Bertrand Russell dưới dạng một cấu trúc định lượng của những mệnh đề xem chừng hài hòa và hợp lý hơn, cũng như phần đông của toán học được tiên đề hóa và do đó phải tuân theo những tiêu chuẩn đơn thuần của chứng tỏ khắt khe .Trong trong thực tiễn trong một thiết lập tiên đề ngặt nghèo không có gì thêm cho ý tưởng sáng tạo về dẫn chứng. Toán học thuần túy, theo quan điểm hoàn toàn có thể được cho là của nhóm Bourbaki, là điều được chứng tỏ. Nhà toán học thuần túy đã trở thành một nghề nghiệp được công nhận, hoàn toàn có thể đạt được trải qua đào tạo và giảng dạy .Trường hợp đã được triển khai rằng toán học thuần túy là có ích trong giáo dục kỹ thuật : [ 6 ]
Có một sự đào tạo và giảng dạy về thói quen tư duy, quan điểm và sự hiểu biết trí tuệ về những yếu tố kỹ thuật thường thì mà chỉ có nghiên cứu và điều tra về toán học hạng sang mới hoàn toàn có thể đưa ra .
Nguyên tắc chung và cái trừu tượng[sửa|sửa mã nguồn]
Mô hình tượng trưng cho nghịch lý Banach – Tarski : Liệu một quả bóng hoàn toàn có thể phân mảnh thành hữu hạn điểm, và hữu hạn điểm này hợp lại thành thành 2 quả bóng cùng size với quả bắt đầu ?Một khái niệm TT trong toán học thuần túy là sáng tạo độc đáo chung chung ; toán học thuần túy thường biểu lộ khuynh hướng tăng tổng quát. Sử dụng và lợi thế của tính tổng quát gồm có :
- Phổ quát hóa các định lý hoặc các cấu trúc toán học có thể dẫn đến sự hiểu biết sâu hơn về các định lý ban đầu hoặc các cấu trúc
- Sự phổ quát có thể đơn giản hóa việc trình bày tài liệu, kết quả là các bằng chứng hoặc đối số ngắn hơn dễ thực hiện hơn.
- Người ta có thể sử dụng tính tổng quát để tránh trùng lặp trường hợp, chứng minh một kết quả tổng quát thay vì phải chứng minh các trường hợp riêng biệt độc lập hoặc sử dụng các kết quả từ các lĩnh vực khác của toán học.
- Tính tổng quát có thể tạo điều kiện kết nối giữa các ngành khác nhau của toán học. Lý thuyết phạm trù là một lĩnh vực của toán học dành riêng cho việc khai thác tính phổ biến của cấu trúc khi nó phát triển ở một số lĩnh vực toán học.
Ảnh hưởng chung của trực giác là phụ thuộc vào chủ đề và một vấn đề sở thích cá nhân hoặc phong cách nghiên cứu. Thường thì khái quát được xem như là một trở ngại cho trực giác, mặc dù nó chắc chắn có thể hoạt động như một sự trợ giúp cho nó, đặc biệt là khi nó cung cấp sự tương đồng với vật chất mà một người đã có trực giác tốt.
Là một ví dụ nổi bật về tính tổng quát, chương trình Erlangen tương quan đến việc lan rộng ra hình học để chứa hình học phi Euclid cũng như nghành topo học và những hình thức hình học khác bằng cách xem hình học như nghiên cứu và điều tra khoảng trống cùng với một nhóm biến hóa. Nghiên cứu về những số lượng, gọi là đại số ở trình độ mở màn chưa tốt nghiệp ĐH, lan rộng ra đến đại số trừu tượng ở cấp cao hơn ; và điều tra và nghiên cứu về những công dụng, gọi là giám sát ở Lever sinh viên năm nhất ĐH sẽ trở thành nghiên cứu và phân tích toán học và nghiên cứu và phân tích tính năng ở mức độ cao hơn. Mỗi Trụ sở của toán học trừu tượng hơn có nhiều chuyên ngành phụ, và có rất nhiều liên kết giữa toán học thuần túy và những môn toán học ứng dụng. Sự ngày càng tăng dốc đứng đã được nhìn thấy vào giữa thế kỷ 20 .Tuy nhiên, trên thực tiễn, sự tăng trưởng này đã dẫn tới sự độc lạ rõ nét từ vật lý, đặc biệt quan trọng là từ năm 1950 đến năm 1983. Sau đó, điều này đã bị chỉ trích, ví dụ bởi Vladimir Arnold, David Hilbert thì chỉ trích quá nhiều, Henri Poincaré cũng chỉ trích nhưng không đủ nhiêu. Vấn đề vẫn chưa được xử lý, trong khi triết lý dây kéo một chiều đi theo hướng tăng trưởng thẳng thì toán học rời rạc tăng trưởng kiểu chứng tỏ là TT .
Các nhà toán học luôn có những ý kiến khác nhau về sự phân biệt giữa toán học thuần túy và ứng dụng. Một trong những ví dụ hiện đại nổi tiếng nhất (nhưng có lẽ bị hiểu nhầm) của cuộc tranh luận này có thể tìm thấy ở Godfrey Harold Hardy với Lời xin lỗi của một nhà toán học
Nhiều người tin rằng Hardy coi toán học ứng dụng là xấu và ngu si đần độn. Mặc dù Hardy thích toán học thuần túy, mà ông thường so sánh với hội họa và thơ ca, Hardy nhìn thấy sự độc lạ giữa toán học thuần túy và ứng dụng, đơn thuần là toán học ứng dụng đã tìm cách biểu lộ thực sự vật lý trong một khuôn khổ toán học, trong khi toán học thuần túy độc lập với quốc tế vật chất. Hardy đã tạo ra một sự độc lạ riêng không liên quan gì đến nhau trong toán học giữa cái mà ông gọi là toán học ” thực “, ” có giá trị nghệ thuật và thẩm mỹ vĩnh viễn “, và ” phần mờ và những phần cơ bản của toán học ” có sử dụng thực tiễn .
Hardy đã xem xét một số nhà vật lí, như Albert Einstein, và Paul Dirac, là một trong số những nhà toán học “thực sự”, nhưng vào lúc ông viết Lời xin lỗi của một nhà toán học, ông cũng coi thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử là “vô ích”, cho phép ông giữ ý kiến rằng chỉ có toán học “ngu si” có hữu ích. Hơn nữa, Hardy đã thừa nhận rằng – giống như việc áp dụng lý thuyết ma trận và lý thuyết nhóm vào vật lý đã bất ngờ xuất hiện – thời gian có thể xảy ra khi mà một số loại toán học “thực sự” đẹp có thể hữu ích.
Một cái nhìn thâm thúy được cung ứng bởi Magid :
Tôi luôn nghĩ rằng một quy mô tốt ở đây hoàn toàn có thể được rút ra từ kim chỉ nan vành. Trong chủ đề đó, tất cả chúng ta có những nhóm nhỏ của kim chỉ nan vành giao hoán và kim chỉ nan vành không giao hoán. Một người quan sát không được thông tin hoàn toàn có thể nghĩ rằng đây là một sự phân đôi, nhưng trên thực tiễn nó lại là dạng cũ : một vòng không hoạt động giải trí là một vòng không nhất thiết là giao hoán. Nếu tất cả chúng ta sử dụng những quy ước tương tự như, thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm toán học ứng dụng và toán học không ứng dụng, ở đây tất cả chúng ta định nghĩa là toán học không nhất thiết phải ứng dụng … [ 2 ]
Các nghành thường trực[sửa|sửa mã nguồn]
Giải tích toán học tương quan đến đặc thù của những hàm số. Nó đề cập đến những khái niệm như tính liên tục, số lượng giới hạn, đạo hàm và tích phân, do đó cung ứng một nền tảng khắc nghiệt cho giám sát của vi phân được ra mắt bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz vào thế kỷ 17. Giải tích thực điều tra và nghiên cứu những hàm của những số thực, trong khi giải tích phức lan rộng ra những khái niệm nói trên đến những hàm của những số phức. Giải tích là một nhánh của giải tích toán học để điều tra và nghiên cứu khoảng trống vectơ vô hạn và quan điểm hoạt động giải trí như những điểm trong những khoảng trống này .Đại số trừu tượng không phải là nhầm lẫn với những thao tác của công thức được gồm có trong giáo dục trung học. Nó điều tra và nghiên cứu tập hợp cùng với những phép toán hai ngôi được xác lập trên chúng. Các tập hợp và những phép toán nhị phân của chúng hoàn toàn có thể được phân loại theo những thuộc tính của chúng : ví dụ, nếu một hoạt động giải trí phối hợp trên một bộ có chứa một thành phần nhận diện và đảo ngược cho mỗi thành viên của bộ, tập hợp và hoạt động giải trí được coi là một nhóm toán học. Các cấu trúc khác gồm có vành, trường, khoảng trống vectơ và dàn .
Hình học là nghiên cứu về hình dạng và không gian, đặc biệt là các nhóm chuyển đổi hoạt động trên không gian. Ví dụ, hình học xạ ảnh là về nhóm các phép biến đổi xạ ảnh hoạt động trên mặt phẳng chiếu thực, trong khi đó hình học nghịch đảo liên quan đến nhóm các phép biến đổi nghịch tác động trên mặt phẳng phức tạp mở rộng.
Lý thuyết số là kim chỉ nan về số nguyên dương. Nó được dựa trên những sáng tạo độc đáo như chia và sự đồng dạng. Định lý cơ bản của nó công bố rằng mỗi số nguyên dương có một phép nghiên cứu và phân tích thành những thừa số nguyên tố duy nhất. Trong 1 số ít góc nhìn, nó là nghành nghề dịch vụ dễ tiếp thu nhất trong toán học thuần túy cho công chúng : ví dụ như giả thuyết Goldbach thuận tiện được nêu ra ( nhưng vẫn chưa được chứng tỏ hay bác bỏ ). Theo cách khác nó là quy luật dễ tiếp cận nhất ; ví dụ như chứng tỏ của Andrew Wiles rằng phương trình Fermat không có giải pháp không thiết yếu yên cầu sự hiểu biết về những dạng thức tự nhiên, mặc dầu thực chất của tự nhiên không tìm thấy một vị trí trong vật lý hay nói chung về công khai minh bạch .Topo học là một lan rộng ra tân tiến của hình học. Thay vì tập trung chuyên sâu vào những kích cỡ của vật thể và phép đo đúng mực của chúng, topo gồm có những thuộc tính của khoảng trống hoặc những đối tượng người tiêu dùng được giữ gìn dưới những thao tác trơn tru như uốn hoặc xoắn ( nhưng không có rách nát hoặc cắt ). Các trường con của topo học tương tác với những ngành khác của toán học thuần túy : tô pô truyền thống lịch sử sử dụng những sáng tạo độc đáo từ nghiên cứu và phân tích, ví dụ điển hình như khoảng trống số liệu, và topo đại số dựa trên những ý tưởng sáng tạo từ những tổng hợp cộng thêm những nghiên cứu và phân tích .
