Mệnh đề toán học – Wikipedia tiếng Việt

Đối với những định nghĩa khác, xem Mệnh đề

Trong logic toán, một phân ngành logic, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.

Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được lao lý như sau :

Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lý 0 là mệnh đề sai.

Ký hiệu:

• Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c,… để ký hiệu cho các mệnh đề.
• Nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 1 thì ta ký hiệu G(a) = 1; nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 0 thì ta ký hiệu là G(a) = 0.

Chẳng hạn, để ký hiệu a là mệnh đề ” Paris là Hà Nội Thủ Đô của nước Pháp ” ta sẽ viết :

• a = “Paris là thủ đô của nước Pháp” hoặc
• a: “Paris là thủ đô của nước Pháp”.

Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1.

Chú ý:

1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lý đúng hoặc sai. Chẳng hạn:

• Sáng nay bạn An đi học.
• Trời mưa.
• Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.

2. Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề:

• Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai.
• Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.

3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết “chắc chắn” nó nhận một giá trị. Chẳng hạn:

• Trên Sao Hỏa có sự sống.

Mệnh đề và câu[sửa|sửa mã nguồn]

Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh đề. Vì vậy có thể nói: “Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai”.

Ví dụ:

1. “Paris là thủ đô của nước Pháp”  

← là mệnh đề đúng.

2. “Nước Việt Nam nằm ở châu Âu”  

← là mệnh đề sai.

3. “Tháng 12 có 28 ngày”  

← là mệnh đề sai.

4. “Một năm có 12 tháng và mỗi tuần có 7 ngày”  

← là mệnh đề đúng.

5. “20 là số chẵn”  

← là mệnh đề đúng.

6. “Số 123 chia hết cho 3”  

← là mệnh đề đúng.

7. “2 cộng với 3 bằng 7”  

← là mệnh đề sai.

8. “15 lớn hơn 30”  

← là mệnh đề sai.

9. Các câu sau:

“Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?”

“Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?”

“Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!”

“Tất cả hãy anh dũng tiến lên!”

← đều không phải là mệnh đề.

Nhận xét : nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề .

Mệnh đề logic và mệnh đề mờ[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu như trong logic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng logic mờ, mà ở đó giá trị chân lý của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 0 là sai, có giá trị chân lý 1 là đúng. Còn giá trị chân lý nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lý.

Các phép toán logic cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng những phép toán số học ( cộng, trừ, nhân, chia, … ) ảnh hưởng tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng những phép logic ảnh hưởng tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình diễn định nghĩa và những đặc thù cơ bản của những phép toán này .

Phép phủ định[sửa|sửa mã nguồn]

Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, ký hiệu là

a

¯

{displaystyle {overline {a}}}

, đúng khi a sai và sai khi a đúng.

Bảng giá trị chân lý của phép phủ định

a

a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

1

0

0

1

Ví dụ 1:

Nếu a = “Paris là thủ đô của nước Pháp” thì mệnh đề phủ định

a

¯

{displaystyle {overline {a}}}

có thể diễn đạt như sau:

• a ¯ { displaystyle { overline { a } } }
• hoặc a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

Ở đây G(a) = 1 còn G(

a

¯

{displaystyle {overline {a}}}

) = 0.

Ví dụ 2:

Nếu b = “15 lớn hơn 30” thì mệnh đề phủ định

b

¯

{displaystyle {overline {b}}}

có thể diễn đạt như sau:

• b ¯ { displaystyle { overline { b } } }
• hoặc b ¯ { displaystyle { overline { b } } }
• hoặc b ¯ { displaystyle { overline { b } } }

Ở đây G(b) = 0 còn G(

b

¯

{displaystyle {overline {b}}}

) = 1.

Ví dụ 3:

Nếu c = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ định

c

¯

{displaystyle {overline {c}}}

có thể diễn đạt như sau:

c ¯ { displaystyle { overline { c } } }

Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định

c

¯

{displaystyle {overline {c}}}

sẽ sai (hoặc đúng).

Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là “không phải a”.

Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, ký hiệu a Λ b ( hoặc a. b ), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong những trường hợp còn lại .

Bảng giá trị chân lý của phép hội

a

b

a Λ b

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,… hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.

Ví dụ 1:

“Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh” là hội của hai mệnh đề a = “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội” và b = “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh”. Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.

Ví dụ 2:

“Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô” là hội của hai mệnh đề a = “Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước” và b = “Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô”. Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1.

Ví dụ 3:

• “Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3″.
• “Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh”.
• “ABC là tam giác vuông cân” là hội của hai mệnh đề a = “ABC là tam giác vuông” và b = “ABC là tam giác cân”.
• “Không những trời nắng to mà còn gió tây”.
• “Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa”.

Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn:

• “Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên”.
• “Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10”.

Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, ký hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lý của phép tuyển

a

b

a ν b

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ .Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng .

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc” (hay liên từ khác cùng loại).

Ví dụ 1:

” Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4 ” là tuyển của hai mệnh đề a = ” Tháng 12 có 31 ngày ” và b = ” 2 + 2 = 4 ” .Ở đây G ( a ν b ) = 1 .

Ví dụ 2:

• “3 nhỏ hơn hoặc bằng 4”   ← là mệnh đề đúng
• “Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9”   ← là mệnh đề đúng
• “20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3”   ← là mệnh đề sai

Chú ý: Trong thực tế, liên từ “hoặc” thường được dùng với hai nghĩa “loại trừ” và “không loại trừ”.

• Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b.
• Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b.

Chẳng hạn :

• “Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ”   ← là phép tuyển không loại trừ.
• “20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2”   ← là phép tuyển loại trừ.

Phép kéo theo[sửa|sửa mã nguồn]

a kéo theo b là một mệnh đề, ký hiệu là a

→

{displaystyle rightarrow }

b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lý của phép kéo theo

a

b

a → { displaystyle rightarrow }

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:

“Nếu a thì b”

“Có b khi có a”

“Từ a suy ra b”

“a là điều kiện đủ để có b”

“b là điều kiện cần (ắt có) để có a”

…………..

Ví dụ:

• “15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5”   ← mệnh đề đúng.
• “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng”   ← mệnh đề đúng.

Chú ý:

1. Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề a ⇒ { displaystyle Rightarrow }

Ví dụ:

• “Nếu mặt trời quay quanh Trái Đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu”   ← mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = “mặt trời quay quanh Trái Đất” và b = “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều sai.
• “Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng”   ← mệnh đề sai.

2. Theo bảng chân lý trên, ta thấy:

• Nếu a sai thì a → { displaystyle rightarrow }
• Nếu a đúng thì a → { displaystyle rightarrow }

Vì vậy để chứng minh mệnh đề a ⇒ { displaystyle Rightarrow }phép chứng minh mệnh đề a ⇒ { displaystyle Rightarrow }

Bước 1. Giả sử a đúng.

Bước 2. Từ giả thiết a đúng, dùng lập luận và các mệnh đề toán học đã biết, suy ra b đúng.

Bước 3. Kết luận a ⇒ { displaystyle Rightarrow }

Trong mệnh đề a ⇒ { displaystyle Rightarrow }

3. Nếu ta coi a ⇒ { displaystyle Rightarrow }mệnh đề thuận thì b ⇒ { displaystyle Rightarrow }mệnh đề đảo, a ¯ { displaystyle { overline { a } } }⇒ { displaystyle Rightarrow }b ¯ { displaystyle { overline { b } } }mệnh đề phản và b ¯ { displaystyle { overline { b } } }⇒ { displaystyle Rightarrow }a ¯ { displaystyle { overline { a } } }mệnh đề phản đảo.

4. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn:”Mấy đời bánh đúc có xương,

Mấy đời dì ghẻ có thương con chồng”

hoặc”Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,

Bay cao thì nắng bay vừa thì râm”.

Phép tương tự[sửa|sửa mã nguồn]

a tương đương b là một mệnh đề, ký hiệu là a

⇔

{displaystyle Leftrightarrow }

b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.

Bảng giá trị chân lý của mệnh đề tương đương

a

b

a ↔ { displaystyle leftrightarrow }

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Chú ý:

1. Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:”a khi và chỉ khi b”

“a nếu và chỉ nếu b”

“a và b là hai mệnh đề tương đương”

“a là điều kiều kiện cần và đủ để có b”

2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cùng sai).

Ví dụ:

• “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi Trái Đất quay quanh mặt trời” là mệnh đề đúng.
• “12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh” là mệnh đề sai.
• “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

3. Một cách khác, người ta cũng nói rằng a tương đương b khi và chỉ khi cả hai mệnh đề a ⇒ { displaystyle Rightarrow }⇒ { displaystyle Rightarrow }⇔ { displaystyle Leftrightarrow }⇒ { displaystyle Rightarrow }⇒ { displaystyle Rightarrow }

4. Các cặp mệnh đề thuận và phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnh đề tương đương. Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh gián tiếp trong toán học.

= = Sự tương tự logic

Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,… khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác:

a) Mỗi mệnh đề gọi là một công thức.

b) Nếu P, Q là những công thức thì P. ¯ { displaystyle { overline { P } } }Λ Q, P ν Q, P ⇒ { displaystyle Rightarrow }⇔ { displaystyle Leftrightarrow }

c) Mọi dãy ký hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải là công thức.

Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới công dụng của những phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề xuất hiện trong công thức P. một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của những phép logic ta khẳng định chắc chắn được công thức P. là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P. là mệnh đề đúng ( hoặc sai ) thì ta nói công thức P. có giá trị chân lý bằng 1 ( hoặc 0 ) .

Ví dụ:

• a ∧ a ¯ ¯ { displaystyle { overline { a land { overline { a } } } } }

Bảng giá trị chân lý của công thức (1)

a

a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

a Λ a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

a ∧ a ¯ ¯ { displaystyle { overline { a land { overline { a } } } } }

0

1

0

1

1

0

0

1

• ( a → b ) ⇔ ( b ¯ → a ¯ ) ¯ { displaystyle { overline { ( a rightarrow b ) Leftrightarrow ( { overline { b } } rightarrow { overline { a } } ) } } }

Bảng giá trị chân lý của công thức (2)

a

b

a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

b ¯ { displaystyle { overline { b } } }

a → b { displaystyle a rightarrow b }

b ¯ → a ¯ { displaystyle { overline { b } } rightarrow { overline { a } } }

( a → b ) ⇔ ( b ¯ → a ¯ ) { displaystyle ( a rightarrow b ) Leftrightarrow ( { overline { b } } rightarrow { overline { a } } ) }

( a → b ) ⇔ ( b ¯ → a ¯ ) ¯ { displaystyle { overline { ( a rightarrow b ) Leftrightarrow ( { overline { b } } rightarrow { overline { a } } ) } } }

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

Sự tương tự logic[sửa|sửa mã nguồn]

Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau.

Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Chú ý:

1. Ký hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương logic chứ không phải là hai mệnh đề bằng nhau.

2. Hai mệnh đề tương đương logic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không có liên quan.

Chẳng hạn: “Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11”.

3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức.

Dưới đây là 1 số ít đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề :

Phủ định của phủ định[sửa|sửa mã nguồn]

(1)   a ¯ ¯ { displaystyle { overline { overline { a } } } }

(2)   a ∧ b ¯ { displaystyle { overline { a land b } } }a ¯ ∨ b ¯ { displaystyle { overline { a } } vee { overline { b } } }

(3)   a ∨ b ¯ { displaystyle { overline { a vee b } } }a ¯ ∧ b ¯ { displaystyle { overline { a } } land { overline { b } } }

Tính chất tích hợp của những phép logic[sửa|sửa mã nguồn]

(4)   (a Λ b) Λ c ≡ a Λ (b Λ c)

(5)   (a ν b) ν c ≡ a ν (b ν c)

Tính chất giao hoán của những phép logic[sửa|sửa mã nguồn]

(6)   a Λ b ≡ b Λ a

(7)   a ν b ≡ b ν a

(8)   a ↔ { displaystyle leftrightarrow }↔ { displaystyle leftrightarrow }

Tính chất phân phối[sửa|sửa mã nguồn]

(9)   a Λ (b ν c) ≡ (a Λ b) ν (a Λ c)

(10)   a ν (b Λ c) ≡ (a ν b) Λ (a ν c)

Tính lũy đẳng[sửa|sửa mã nguồn]

(11)   a Λ a ≡ a

(12)   a ν a ≡ a

Biểu diễn phép kéo theo qua các phép logic khác

[sửa|sửa mã nguồn]

(13)   a → b { displaystyle a rightarrow b }a ¯ ∨ b { displaystyle { overline { a } } vee b }

(14)   a → b { displaystyle a rightarrow b }a ∧ b ¯ ¯ { displaystyle { overline { a land { overline { b } } } } }

(15)   a → b { displaystyle a rightarrow b }b ¯ → a ¯ { displaystyle { overline { b } } rightarrow { overline { a } } }

Biểu diễn tương tự qua những phép logic khác[sửa|sửa mã nguồn]

(16)   a ↔ b { displaystyle a leftrightarrow b }( a → b ) ∧ ( b → a ) { displaystyle ( a rightarrow b ) land ( b rightarrow a ) }

(17)   a ↔ b { displaystyle a leftrightarrow b }a ¯ ↔ b ¯ { displaystyle { overline { a } } leftrightarrow { overline { b } } }

Các đẳng thức về 0 và 1[sửa|sửa mã nguồn]

Người ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1:

(18)   a Λ 0 ≡ 0

(19)   a ν 0 ≡ a

(20)   a Λ 1 ≡ a

(21)   a ν 1 ≡ 1

(22)   a ν a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

(23)   a Λ a ¯ { displaystyle { overline { a } } }

Chứng minh đẳng thức[sửa|sửa mã nguồn]

Để chứng tỏ một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng chiêu thức lập bảng giá trị chân lý .

Ví dụ 1: Chứng minh:

a

∧

b

¯

{displaystyle {overline {aland b}}}

  ≡  

a

¯

∨

b

¯

{displaystyle {overline {a}}vee {overline {b}}}

Bảng giá trị chân lý

a

b

a ∧ b ¯ { displaystyle { overline { a land b } } }

a ¯ ∨ b ¯ { displaystyle { overline { a } } vee { overline { b } } }

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a ∧ b ¯ { displaystyle { overline { a land b } } } và a ¯ ∨ b ¯ { displaystyle { overline { a } } vee { overline { b } } } luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng tỏ .

Ví dụ 2: Chứng minh:

a

→

b

{displaystyle arightarrow b}

  ≡  

b

¯

→

a

¯

{displaystyle {overline {b}}rightarrow {overline {a}}}

Bảng giá trị chân lý

a

b

a → b { displaystyle a rightarrow b }

b ¯ → a ¯ { displaystyle { overline { b } } rightarrow { overline { a } } }

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a → b { displaystyle a rightarrow b } và b ¯ → a ¯ { displaystyle { overline { b } } rightarrow { overline { a } } } luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng tỏ .

Hàm mệnh đề. Các lượng từ sống sót và tổng quát[sửa|sửa mã nguồn]

Khái niệm về hàm mệnh đề[sửa|sửa mã nguồn]

Ta xét những ví dụ sau :

Ví dụ 1: “Số tự nhiên n chia hết cho 5”.

Về phương diện ngôn từ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một trong thực tiễn khách quan nào, do đó nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên đơn cử, ví dụ điển hình :

• Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: “Số 100 chia hết cho 5”.
• Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: “Số 101 chia hết cho 5”.

Ví dụ 2: “x + 3 > 7”.

Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, tuy nhiên nếu ta thay x bởi 1 số ít thực đơn cử, ví dụ điển hình :

• Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: “0 + 3 > 7”.
• Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: “5 + 3 > 7”.

Ví dụ 3: “Ông A là nhà toán học vĩ đại”.

Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn ” ông A ” là ” Gausơ ” sẽ được mệnh đề đúng : ” Gausơ là nhà toán học vĩ đại “, nếu ta chọn ” ông A ” là ” Đinh Bộ Lĩnh ” thì sẽ được mệnh đề sai : ” Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại ” .Từ những ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau :

Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó.

Ta dùng ký hiệu : T ( n ), F ( x ), … để chỉ những hàm mệnh đề .Chẳng hạn :

• Hàm mệnh đề T(n): “Số tự nhiên n chia hết cho 5” có miền xác định là tập các số tự nhiên N. Tập các số tự nhiên có tận cùng bằng 0 hoặc 5 là miền đúng của T(n).
• Hàm mệnh đề F(x) = “x + 3 > 7” có miền xác định là các số thực. Tập các số thực lớn hơn 4 ta gọi là miền đúng của hàm mệnh đề F(x).

Mệnh đề sống sót[sửa|sửa mã nguồn]

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ “Tồn tại

x

∈

X

{displaystyle xin X}

sao cho…” vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:

“Tồn tại x ∈ X { displaystyle x in X }

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Ký hiệu là:

∃ x ∈ X : T ( x ) { displaystyle exists x in X : T ( x ) }hoặc∃ x T ( x ) { displaystyle exists x T ( x ) }

x ∈ X { displaystyle x in X }

Ký hiệu

∃

{displaystyle exists }

gọi là lượng từ tồn tại.

Ví dụ:

• “Tồn tại số thực x sao cho x + 4 > 7” là mệnh đề đúng.

Ký hiệu là: ∃ x : x + 4 > 7 { displaystyle exists x : x + 4 > 7 }7}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907abbf30736a0d3fd137915731cdd385630737c”/>

• “Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho 5” là mệnh đề đúng.

Ký hiệu là: ∃ n ∈ N : n ⋮ 5 { displaystyle exists n in mathbb { N } : n vdots 5 }

• “Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0” là mệnh đề sai.

Ký hiệu là: ∃ x : x 2 + 1 = 0 { displaystyle exists x : x ^ { 2 } + 1 = 0 }

Chú ý:

1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn:

• “Tồn tại ít nhất một x ∈ X { displaystyle x in X }
• “Có một x ∈ X { displaystyle x in X }
• “Có ít nhất một x ∈ X { displaystyle x in X }
• “Ít ra cũng có một người là nhà toán học”.
• “Một số người là nhà toán học”.
• “Có nhiều người là nhà toán học”
• ………………

2. Ta dùng ký hiệu ∃ ! x ∈ X : T ( x ) { displaystyle exists ! x in X : T ( x ) }x ∈ X { displaystyle x in X }

Mệnh đề tổng quát[sửa|sửa mã nguồn]

Cho T ( x ) là hàm mệnh đề xác lập trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ ” Với mọi x ∈ X { displaystyle x in X } ta có … ” vào trước hàm mệnh đề T ( x ) ta được mệnh đề :

“Với mọi x ∈ X { displaystyle x in X }

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,…). Ký hiệu là:

∀ x ∈ X, T ( x ) { displaystyle forall x in X, T ( x ) }hoặc( ∀ x ∈ X ) T ( x ) { displaystyle ( forall x in X ) T ( x ) }hoặc∀ x T ( x ) { displaystyle forall x T ( x ) }

x ∈ X { displaystyle x in X }

Ký hiệu

∀

{displaystyle forall }

gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập,…)

Phủ định của mệnh đề sống sót và tổng quát[sửa|sửa mã nguồn]

Phủ định những mệnh đề sống sót và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây :

∃ x ∈ X : T ( x ) ¯ ≡ ∀ x ∈ X, T ( x ) ¯ v a ` ∀ x ∈ X, T ( x ) ¯ ≡ ∃ x ∈ X : T ( x ) ¯ { displaystyle { overline { exists x in X : T ( x ) } } equiv forall x in X, { overline { T ( x ) } } v { grave { a } } { overline { forall x in X, T ( x ) } } equiv exists x in X : { overline { T ( x ) } } }

Như vậy, hai mệnh đề :

Ví dụ:

• Co mot so tu nhien n chia het cho 5 ¯ { displaystyle { overline { textrm { Co mot so tu nhien n chia het cho 5 } } } }

≡ Moi so tu nhien n deu khong chia het cho 5. { displaystyle equiv { textrm { Moi so tu nhien n deu khong chia het cho 5. } } }

Ký hiệu là: ∃ n ∈ N : n ⋮ 5 ¯ ≡ ∀ n ∈ N, n ⋮ 5 ¯ { displaystyle { overline { exists n in mathbb { N } : n vdots 5 } } equiv forall n in mathbb { N }, { overline { n vdots 5 } } }

• Moi tam giac deu khong la phai la tam giac can ¯ { displaystyle { overline { textrm { Moi tam giac deu khong la phai la tam giac can } } } }

• Nguoi Viet Nam nao chang noi thao tieng Anh ¯ { displaystyle { overline { textrm { Nguoi Viet Nam nao chang noi thao tieng Anh } } } }

≡ Co it nhat mot nguoi Viet Nam khong noi thao tieng Anh. { displaystyle equiv { textrm { Co it nhat mot nguoi Viet Nam khong noi thao tieng Anh. } } }

• Co it nhat mot so thuc x la nghiem cua phuong trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ { displaystyle { overline { { textrm { Co it nhat mot so thuc x la nghiem cua phuong trinh } } x ^ { 2 } – 3 x – 4 = 0 } } }

≡ Moi so thuc x deu khong phai nghiem cua phuong trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 { displaystyle equiv { textrm { Moi so thuc x deu khong phai nghiem cua phuong trinh } } x ^ { 2 } – 3 x – 4 = 0 }

≡ Phuong trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 khong co nghiem thuc. { displaystyle equiv { textrm { Phuong trinh } } x ^ { 2 } – 3 x – 4 = 0 { textrm { khong co nghiem thuc. } } }

Ký hiệu là: ∃ x ∈ R : x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ ≡ ∀ x ∈ R, x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ { displaystyle { overline { exists x in mathbb { R } : x ^ { 2 } – 3 x – 4 = 0 } } equiv forall x in mathbb { R }, { overline { x ^ { 2 } – 3 x – 4 = 0 } } }

.

Giải bài toán bằng suy luận logic[sửa|sửa mã nguồn]

Thông thường khi giải một bài toán dùng công cụ của logic mệnh đề ta thực thi theo những bước sau :

Bước 1: Phiên dịch đề bài từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ của logic mệnh đề:

• Tìm xem bài toán được tạo thành từ những mệnh đề nào.
• Diễn đạt các điều kiện (đã cho và phải tìm) trong bài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề.

Bước 2: Phân tích mối liên hệ giữa điều kiện đã cho với kết luận của bài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề.

Bước 3: Dùng các phương pháp suy luận logic dẫn dắt từ các điều kiện đã cho tới kết luận của bài toán.

Ví dụ:

Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết : Nước Ta, Nước Singapore, Xứ sở nụ cười Thái Lan và Indonesia. Trước khi tranh tài vòng bán kết, ba bạn Dụng, Quang, Trung Dự kiến như sau :

Dụng: Singapore nhì, còn Thái Lan ba.

Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.

Trung: Singapore nhất và Indonesia nhì.

Kết quả, mỗi bạn Dự kiến đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy ?

Giải:

Ký hiệu những mệnh đề :

• d1, d2 là hai dự đoán của Dụng.
• q1, q2 là hai dự đoán của Quang.
• t1, t2 là hai dự đoán của Trung.

Vì Dụng có một Dự kiến đúng và một Dự kiến sai, nên có hai năng lực :

• Nếu G(d1) = 1 thì G(t1) = 0. Suy ra G(t2) = 1. Điều này vô lý vì cả hai đội Singapore và Indonesia đều đạt giải nhì.
• Nếu G(d1) = 0 thì G(d2) = 1. Suy ra G(q2) = 0 và G(q1) = 1. Suy ra G(t2) = 0 và G(t1) = 1.

Vậy Nước Singapore nhất, Nước Ta nhì, xứ sở của những nụ cười thân thiện ba còn Indonesia đạt giải tư .

Giải bài toán trong kĩ thuật[sửa|sửa mã nguồn]

Mệnh đề logic còn được ứng dụng trong kĩ thuật lắp ráp những mạch điện và thiết bị trong nhà máy sản xuất. Dưới đây là một ví dụ minh họa .

Ví dụ:

Giữa công tắc nguồn và dây may so của một chiếc Bàn là có rơle tự ngắt ( để khi dây may so nóng đến nhiệt độ lao lý được cho phép thì rơle tự ngắt mạch điện cho Bàn là được bảo đảm an toàn ). Hãy thiết lập nguyên tắc logic của quy trình hoạt động giải trí của chiếc Bàn là đó ( thiết lập mối liên hệ giữa việc đóng, ngắt mạch của công tắc nguồn, rơle với nhiệt độ được cho phép của dây may so ) .

Giải:

Ký hiệu những mệnh đề :

• c = “Công tắc Bàn là đóng mạch”.
• r = “Rơ le Bàn là đóng mạch”.
• t = “Dây may so trong Bàn là nóng tới nhiệt độ cho phép”.

Mối liên hệ giữa trạng thái an toàn của Bàn là và giá trị chân lý của những mệnh đề c, r, t hoàn toàn có thể trình diễn bởi bảng sau :

Trạng thái

c

r

t

Trạng thái an toàn

1

1

1

1

không

2

1

1

0

có

3

1

0

1

có

4

1

0

0

không

5

0

1

1

không

6

0

1

0

có

7

0

0

1

có

8

0

0

0

không

Nhìn vào bảng trên ta thấy :

• Trạng thái 1 và 5 không đảm bảo an toàn, vì khi dây may so đã nóng tới nhiệt độ quy định cho phép mà rơle vẫn đóng mạch thì dẫn đến hỏng Bàn là hoặc đồ là.
• Trạng thái 4 và 8 không đảm bảo an toàn vì dây may so chưa nóng tới nhiệt độ quy định cho phép mà rơle đã ngắt mạch thì Bàn là không sử dụng được.

Các trạng thái còn lại : 2, 3, 6 và 7 đều bảo vệ bảo đảm an toàn. Các trạng thái đó được miêu tả bằng những công thức logic sau :

Trạng thái

Công thức

2

c ∧ r ∧ t ¯ { displaystyle c land r land { overline { t } } }

3

c ∧ r ¯ ∧ t { displaystyle c land { overline { r } } land t }

6

c ¯ ∧ r ∧ t ¯ { displaystyle { overline { c } } land r land { overline { t } } }

7

c ¯ ∧ r ¯ ∧ t { displaystyle { overline { c } } land { overline { r } } land t }

Vậy Bàn là hoạt động giải trí bảo đảm an toàn khi và chỉ khi :

( c ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ∧ r ¯ ∧ t ) ∨ ( c ¯ ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ¯ ∧ r ¯ ∧ t ) { displaystyle ( c land r land { overline { t } } ) vee ( c land { overline { r } } land t ) vee ( { overline { c } } land r land { overline { t } } ) vee ( { overline { c } } land { overline { r } } land t ) }

Áp dụng những đẳng thức về luật phân phối, những đẳng thức về 0 và 1 cho trạng thái 2 với 6 và 3 với 7, ta có :

( c ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ¯ ∧ r ∧ t ¯ ) ≡ ( c ∨ c ¯ ) ∧ ( r ∧ t ¯ ) ≡ r ∧ t ¯ { displaystyle ( c land r land { overline { t } } ) vee ( { overline { c } } land r land { overline { t } } ) equiv ( c vee { overline { c } } ) land ( r land { overline { t } } ) equiv r land { overline { t } } }

( c ∧ r ¯ ∧ t ) ∨ ( c ¯ ∧ r ¯ ∧ t ) ≡ ( c ∨ c ¯ ) ∧ ( r ¯ ∧ t ) ≡ r ¯ ∧ t { displaystyle ( c land { overline { r } } land t ) vee ( { overline { c } } land { overline { r } } land t ) equiv ( c vee { overline { c } } ) land ( { overline { r } } land t ) equiv { overline { r } } land t }

Dùng bảng chân lý ta nhận được :

( r ∧ t ¯ ) ∨ ( r ¯ ∧ t ) ≡ ( r ⇔ t ¯ ) ≡ ( r ¯ ⇔ t ) { displaystyle ( r land { overline { t } } ) vee ( { overline { r } } land t ) equiv ( r Leftrightarrow { overline { t } } ) equiv ( { overline { r } } Leftrightarrow t ) }

Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra:

Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi

(

r

⇔

t

¯

)

≡

(

r

¯

⇔

t

)

{displaystyle (rLeftrightarrow {overline {t}})equiv ({overline {r}}Leftrightarrow t)}

Quy trình trên ta hoàn toàn có thể phát biểu thành lời như sau : để Bàn là hoạt động giải trí bảo đảm an toàn phải bảo vệ nguyên tắc : ” Công tắc rơle đóng mạch khi và chỉ khi nhiệt độ dây may so chưa tới hạn được cho phép ” hay ” nhiệt độ dây may so tới hạn được cho phép khi và chỉ khi công tắc nguồn rơle ngắt mạch điện ” .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]