1) Các khái niệm cơ bản: Số phức là gì?
· Định nghĩa : Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn nhu cầu USD { { i } ^ { 2 } } = – 1 USD. Kí hiệu số phức đó là z và viết USD z = a + bi USD .
Trong đó i được gọi là đơn vị chức năng ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức USD z = a + bi USD .
Tập hợp những số phức được kí hiệu là USD mathbb { C } USD .
Chú ý:
– Số phức USD z = a = a + 0. i USD có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là USD a + 0. i = a in mathbb { R } USD .
– Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo ) : USD z = 0 + bi = bi left ( b in mathbb { R } right ) USD .
Ví dụ USD z = 5 i USD là số thuần ảo .
– Số USD 0 = 0 + 0. i USD vừa là số thực, vừa là số ảo .
Bài tập: Số phức $z=5+sqrt{3}i$ có phần thực bằng 5, phần ảo bằng $sqrt{3}$.
Số phức USD z = – 4 i USD có phần thực bằng 0, phần ảo bằng USD – 4 USD ; đó là 1 số ít thuần ảo .
· Hai số phức USD z = a + bi ; { z } ‘ = { a } ‘ + { b } ‘ i text { } left ( a ; { a } ‘ ; b ; { b } ‘ in mathbb { R } right ) USD gọi là bằng nhau nếu USD left { begin { array } { } a = { a } ‘ { } b = { b } ‘ end { array } right. USD .
Khi đó ta viết USD z = { z } ‘ USD .
2) Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức $a+bitext{ }left( a;bin mathbb{R} right)$được biểu diễn bởi điểm $Mleft( a;b right)$. Ngược lại, mỗi điểm $Mleft( a;b right)$ biểu diễn một số phức $z=a+bi$. Ta còn viết $Mleft( a+bi right)$ hay đơn giản là $Mleft( z right)$.
Mặt phẳng tọa độ trình diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O màn biểu diễn số 0 .
Các điểm trên trục hoành Ox trình diễn những số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy trình diễn những số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo .
3) Phép cộng và phép trừ số phức
a) Phép cộng hai số phức
Tổng của hai số phức USD z = a + bi ; { z } ‘ = { a } ‘ + { b } ‘ i text { } left ( a ; { a } ‘ ; b ; { b } ‘ in mathbb { R } right ) USD là số phức USD z + { z } ‘ = a + { a } ‘ + left ( b + { b } ‘ right ) i USD .
Bài tập: $4+i+5-2i=left( 4+5 right)+left( i-2i right)=9-i$.
USD sqrt { 3 } + i-2 sqrt { 3 } – 4 i = – 2 sqrt { 3 } – 3 i USD .
Một số đặc thù của phép cộng số phức
þ Tính chất phối hợp : USD left ( { { z } _ { 1 } } + { { z } _ { 2 } } right ) + { { z } _ { 3 } } = { { z } _ { 1 } } + left ( { { z } _ { 2 } } + { { z } _ { 3 } } right ), forall { { z } _ { 1 } } ; { { z } _ { 2 } } ; { { z } _ { 3 } } in mathbb { C } USD .
þ Tính chất giao hoán : USD z + z ‘ = z ‘ + z, forall z ‘, z in mathbb { C } USD
þ Cộng với 0 : USD z + 0 = 0 + z = z, forall z in mathbb { C } USD .
þ Với mỗi số phức USD z = a + bi text { } left ( a ; b in mathbb { R } right ) USD nếu kí hiệu số phức USD – a-bi USD là USD – z USD thì ta có :
USD z + left ( – z right ) = left ( – z right ) + z = 0 USD
Số USD – z USD được gọi là số đối của số phức USD z USD .
b) Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức USD z USD và USD { z } ‘ USD là tổng của USD z USD và USD – z ‘ USD, tức là USD z – { z } ‘ = z + left ( – { z } ‘ right ) USD
Nếu USD z = a + bi ; text { } { z } ‘ = { a } ‘ + { b } ‘ i USD thì USD z – { z } ‘ = a – { a } ‘ + left ( b – { b } ‘ right ) i USD .
Bài tập: $left( 4+5i right)-left( 1+2i right)=left( 4-1 right)+left( 5-2 right)i=3+3i$.
c ) Phép nhân hai số phức
Tích của hai số phức $z=a+bi$ và ${z}’={a}’+{b}’itext{ }left( a;{a}’;b;{b}’in mathbb{R} right)$ là số phức:
USD z { z } ‘ = left ( a + bi right ) left ( { a } ‘ + { b } ‘ i right ) = a { a } ‘ + left ( a { b } ‘ + { b } ‘ a right ) i + b { b } ‘ { { i } ^ { 2 } } = left ( a { a } ‘ – b { b } ‘ right ) + left ( a { b } ‘ + { a } ‘ b right ) i USD .
Biến đổi tựa như như trên ta có :
· USD { { z } ^ { 2 } } = { { left ( a + bi right ) } ^ { 2 } } = { { a } ^ { 2 } } + 2 abi + { { left ( bi right ) } ^ { 2 } } = { { a } ^ { 2 } } – { { b } ^ { 2 } } + 2 abi USD
