[1]3 + 2 = 5 quả táo, một ví dụ phổ cập trong sách giáo khoa
Phép cộng (thường được biểu thị bằng ký hiệu cộng “+”) là một trong bốn phép toán cơ bản của số học cùng với phép trừ, nhân và chia. Kết quả của phép cộng hai số tự nhiên là giá trị tổng của hai số đó. Ví dụ trong hình bên cho thấy ba quả táo và hai quả táo được gộp lại tạo thành tổng gồm năm quả táo, tương đương với biểu thức toán học “3 + 2 = 5” hay “3 cộng 2 bằng 5″.
Cùng với phép đếm, phép cộng hoàn toàn có thể được định nghĩa và thực thi không trải qua những đối tượng người dùng đơn cử mà chỉ trải qua một khái niệm trừu tượng được gọi là số, ví dụ điển hình như số nguyên, số thực và số phức. Phép cộng thuộc về số học, một nhánh của toán học. Trong đại số, một nhánh khác của toán học, phép cộng cũng hoàn toàn có thể được thực thi trên những khái niệm trừu tượng khác, ví dụ điển hình như vectơ và ma trận .
Phép cộng có một số tính chất quan trọng. Nó có tính giao hoán, nghĩa là không phụ thuộc vào vị trí của các số được cộng, và có tính kết hợp, nghĩa là khi cộng nhiều hơn hai số thì thứ tự thực hiện phép cộng không làm thay đổi kết quả. Phép cộng lặp lại số 1 giống với phép đếm; phép cộng một số với số 0 cho kết quả là chính số đó. Phép cộng cũng tuân theo một số nguyên tắc liên quan đến các phép toán khác như phép trừ và phép nhân.
Thực hiện phép cộng là một trong những việc làm đơn thuần nhất về số. Trẻ mới chập chững biết đi dễ tiếp cận với phép cộng những số rất nhỏ ; phép cộng cơ bản nhất, 1 + 1, hoàn toàn có thể triển khai được bởi trẻ sơ sinh nhỏ đến năm tháng tuổi và 1 số ít thành viên những loài động vật hoang dã khác. Trong giáo dục tiểu học, học viên được dạy cộng những số trong hệ thập phân, khởi đầu từ một chữ số và nâng cao dần lên xử lý những bài toán khó hơn. Có nhiều công cụ cơ học tương hỗ tính cộng, từ bàn tính cổ đại đến máy tính tân tiến, trong khi việc điều tra và nghiên cứu về những cách triển khai phép cộng hiệu suất cao nhất vẫn còn liên tục cho đến thời nay .
Ký hiệu và thuật ngữ[sửa|sửa mã nguồn]
Dấu cộngPhép cộng được viết bằng dấu cộng ” + ” giữa hai số được cộng ; tức là trong ký hiệu trung tố. Kết quả được biểu lộ sau dấu bằng. Ví dụ :
- 1 + 1 = 2 { displaystyle 1 + 1 = 2 }
- 2 + 2 = 4 { displaystyle 2 + 2 = 4 }
- 1 + 2 = 3 { displaystyle 1 + 2 = 3 }
- 5 + 4 + 2 = 11 { displaystyle 5 + 4 + 2 = 11 }
- 3 + 3 + 3 + 3 = 12 { displaystyle 3 + 3 + 3 + 3 = 12 }
Phép cộng theo cột – những số trong cột là số được cộng vào và tổng được ghi dưới dấu gạch ngang .Có 1 số ít trường hợp phép cộng được ” hiểu ” dù không có ký hiệu nào Open :
- Một số nguyên đứng ngay trước một phân số cho biết tổng của hai số và được gọi là hỗn số.[2] Ví dụ:
-
- 3½ = 3 + ½ = 3,5.
- Ký hiệu này có thể gây nhầm lẫn vì trong đa số trường hợp khác, hai số đặt liền kề nhau biểu thị phép nhân.[3]
Tổng của một chuỗi những số hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng ký hiệu sigma, một ký hiệu để bộc lộ ngắn gọn phép lặp. Ví dụ :
- ∑ k = 1 5 k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 55. { displaystyle sum _ { k = 1 } ^ { 5 } k ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } = 55. }
Trong tiếng Việt, số (hoặc vật) được cộng thêm vào trong phép cộng thông thường được gọi chung là số hạng,[4] còn trong tiếng Anh, chúng có thể được gọi là term,[5] addend[6][7] hoặc summand.[8] Các thuật ngữ này cũng áp dụng được cho phép lấy tổng của nhiều số và dùng để phân biệt với thừa số, tức là các số được nhân lại với nhau. Một số tác giả còn gọi tên số hạng đầu tiên là augend.[6][7] Thực tế, trong thời Phục Hưng, nhiều tác giả thậm chí còn không thừa nhận số hạng đầu tiên là addend. Ngày nay, do tính giao hoán của phép cộng nên từ augend rất hiếm khi được dùng và các số hạng đều được gọi là addend.[9]
Tất cả các thuật ngữ trên đều có nguồn gốc từ tiếng Latinh. Từ addition và add trong tiếng Anh đến từ động từ tiếng Latinh addere. Từ addere là từ ghép gồm hai âm tiết: ad nghĩa là “đến” và dare nghĩa là “cho” (đến từ gốc từ Ấn-Âu nguyên thủy *deh₃- có nghĩa là “cho”), nên add có nghĩa là “cho vào”.[9] Thêm vào hậu tố động danh từ -nd thì được từ addend nghĩa là “thứ được cộng vào”.[a] Tương tự, từ động từ augere (“tăng”) ta có từ augend (“thứ được tăng lên”).
The Art of Nombryng, một trong những sách giáo khoa số học tiếng Anh đầu tiên vào thế kỷ 15.[10]Phần minh họa từ, một trong những sách giáo khoa số học tiếng Anh tiên phong vào thế kỷ 15 .
Sum và summand có từ danh từ tiếng Latinh summa nghĩa là “đỉnh, điểm cao nhất” và động từ tương ứng summare. Điều đó thích hợp không chỉ vì tổng của hai số dương lớn hơn chính hai số đó, mà còn do quan niệm của người Hy Lạp cổ đại và La Mã cổ đại là cộng về phía trên, trái ngược với thực tế hiện đại là cộng về phía dưới, vì vậy một tổng lớn hơn các số hạng theo nghĩa đen.[11] Từ addere và summare xuất hiện sớm nhất từ thời Boethius nếu không phải từ một số tác giả La Mã trước thời của ông như Vitruvius và Frontinus; Boethius còn có thêm một số thuật ngữ khác để chỉ phép cộng. Từ adden và adding trong tiếng Anh trung đại do Chaucer phổ biến.[12]
Dấu cộng “+” (Unicode: U+002B; ASCII: +) là viết tắt của từ Latinh et có nghĩa là “và”.[13] Nó xuất hiện trong các công trình toán học có niên đại ít nhất là từ năm 1489.[14]
Phép cộng được dùng để quy mô hóa nhiều quy trình vật lý. Ngay cả so với trường hợp cộng số tự nhiên, có nhiều cách lý giải khả dĩ và miêu tả trực quan .
Hợp những tập hợp[sửa|sửa mã nguồn]
Minh họa phép cộng 3 + 2 = 5 khi hợp những tập hợpCách lý giải phép cộng cơ bản nhất hoàn toàn có thể đến từ việc hợp những tập hợp lại với nhau :
- Khi hai hay nhiều tập hợp rời rạc được kết hợp lại thành một tập hợp duy nhất, số đối tượng trong tập hợp mới bằng tổng số đối tượng có trong các tập hợp ban đầu.
Giải thích này dễ hình dung, rõ ràng và hữu ích với toán học nâng cao; về định nghĩa chính xác chịu ảnh hưởng từ nó, xem mục Số tự nhiên bên dưới. Tuy nhiên, không rõ người ta phải mở rộng dạng phép cộng này như thế nào để bao gồm cả phân số và số âm.[15]
Có thể khắc phục bằng cách xét những đối tượng người tiêu dùng trong tập hợp dễ phân loại, ví dụ điển hình như cái bánh hoặc thậm chí còn là vài thanh ngắn phân nhỏ. Ở đây hoàn toàn có thể nối đầu của những thanh này lại, tức là đã minh họa một khái niệm khác về phép cộng : không phải cộng trực tiếp những thanh mà là cộng độ dài của chúng. [ 16 ]
Mở rộng độ dài[sửa|sửa mã nguồn]
Minh họa phép cộng đại số 2 + 4 = 6 trên trục số. Lần lượt di dời 2 đơn vị chức năng rồi 4 đơn vị chức năng thì tác dụng giống như khi di dời 6 đơn vị chức năng .
Minh họa phép cộng một ngôi 2 + 4 = 6 trên trục số. Một lần di dời 4 đơn vị chức năng tương tự với bốn lần di dời 1 đơn vị chức năng .Một cách lý giải thứ hai về phép cộng đến từ việc lê dài một độ dài khởi đầu thêm một độ dài cho trước :
- Khi một độ dài ban đầu được kéo dài thêm một khoảng nhất định thì độ dài cuối cùng là tổng của độ dài ban đầu và độ dài của phần mở rộng đó.[17]
Tổng a + b có thể được hiểu là một phép toán hai ngôi kết hợp a và b, theo nghĩa đại số, hoặc nó cũng có thể được hiểu là cộng thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu thứ hai, các phần trong tổng a + b đóng vai trò bất đối xứng và phép toán a + b được xem là áp dụng phép toán một ngôi +b vào a.[18] Thay vì gọi chung cả a và b là số hạng, sẽ phù hợp hơn khi gọi a là số hạng thứ nhất (augend), vì a đóng vai trò thụ động. Cách nhìn này cũng có ích khi bàn về phép trừ, vì mỗi phép toán cộng một ngôi có một phép toán trừ một ngôi nghịch đảo và ngược lại.
4 + 2 = 2 + 4 ( khối gạch )
Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là có thể thay đổi vị trí các số hạng trong một phép cộng nhưng kết quả vẫn như nhau. Với a và b là hai số bất kỳ thì
- a + b = b + a.
Một số phép toán hai ngôi khác ( ví dụ điển hình như phép nhân ) cũng có tính giao hoán, nhưng nhiều phép toán khác ( trong đó có phép trừ và phép chia ) không có đặc thù này .
2 + ( 1 + 3 ) = ( 2 + 1 ) + 3 ( thanh chia phần )Phép cộng có tính phối hợp, nghĩa là khi cộng ba hay nhiều số thì thứ tự của phép toán không làm biến hóa tác dụng .
Chẳng hạn, với ba số a, b và c bất kỳ thì biểu thức a + b + c nên được định nghĩa như thế nào để có nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Thực tế, do tính chất kết hợp của phép cộng nên hai cách hiểu này là giống nhau, hay (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).
Khi phép cộng được dùng chung với những phép toán khác, thứ tự của phép toán trở nên quan trọng : phép cộng có Lever ưu tiên ngang với phép trừ và thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia. [ 19 ]
Phần tử đơn vị chức năng[sửa|sửa mã nguồn]
5 + 0 = 5 ( túi dấu chấm )
Khi cộng một số bất kỳ với số 0 thì số đó không thay đổi; 0 là phần tử đơn vị được cộng vào và còn được gọi là đơn vị cộng. Với a bất kỳ,
- a + 0 = 0 + a = a.
Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta năm 628 dù ông không viết bằng ký hiệu đại số và chia thành ba trường hợp tùy thuộc vào a là số dương, số âm hoặc số 0. Các nhà toán học Ấn Độ về sau đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira viết “số 0 trở thành một thứ giống như những gì được thêm vào nó”, tương ứng với phép toán một ngôi 0 + a = a. Thế kỷ 12, Bhaskara viết “Trong phép cộng cipher [số 0] hoặc phép trừ cho nó, một số dương hay âm vẫn được giữ như cũ”, tương ứng với phép toán một ngôi a + 0 = a.[20]
Để cộng những đại lượng vật lý có đơn vị chức năng đo thì chúng phải được biểu lộ bằng cùng một đơn vị chức năng. [ 21 ] Ví dụ, cộng 50 mililít vào 150 mililít thì được 200 mililít. Tuy nhiên, nếu độ dài 2 mét được lê dài thêm 10 centimét thì tổng là 210 centimét, vì 2 mét tương tự với 200 centimét. Mặt khác, phép cộng 3 mét với 4 mét vuông thường là không có ý nghĩa vì những đơn vị chức năng đo đó không hề so sánh được ; đây là dạng quan tâm đến cơ bản trong nghiên cứu và phân tích thứ nguyên .
Thực hiện phép cộng[sửa|sửa mã nguồn]
Khả năng bẩm sinh[sửa|sửa mã nguồn]
Các nghiên cứu về sự phát triển kỹ năng toán học ở trẻ em bắt đầu từ khoảng những năm 1980 đã khai thác hiện tượng quen mất: trẻ sơ sinh nhìn lâu hơn vào các tình huống bất ngờ.[22] Một thí nghiệm gieo mầm của Karen Wynn vào nằm 1992 liên quan đến búp bê chuột Mickey bị điều khiển sau màn hình đã chứng minh rằng trẻ sơ sinh năm tháng tuổi dự đoán rằng 1 + 1 bằng 2 và chúng tương đối ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như đã ngụ ý rằng 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được nhiều phòng thí nghiệm xác nhận qua các phương pháp luận khác nhau.[23] Một nghiên cứu khác năm 1992 với trẻ mới biết đi từ 18 đến 35 tháng tuổi đã nghiên cứu hành vi của chúng bằng cách cho chúng lấy những quả bóng bàn từ một chiếc hộp; trẻ nhỏ nhất trả lời tốt đối với các số nhỏ, trong khi trẻ lớn hơn có thể tính được tổng lớn đến 5.[24]
Ngay cả 1 số ít động vật hoang dã không phải người cũng có năng lực thực thi phép cộng một cách hạn chế, đặc biệt quan trọng là linh trưởng. Trong một nghiên cứu và điều tra năm 1995 dựa trên tác dụng nghiên cứu và điều tra năm 1992 của Wynn ( nhưng dùng cà tím thay vì búp bê ), khỉ rhesus và khỉ sóc đầu trắng có năng lực thực thi phép cộng tương tự như như trẻ sơ sinh. Đáng kinh ngạc hơn, sau khi được dạy về ý nghĩa của những chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, một con tinh tinh hoàn toàn có thể tính được tổng của hai số mà không cần phải dạy thêm. [ 25 ] Gần đây, voi châu Á đã có năng lực triển khai những phép tính số học cơ bản. [ 26 ]
Học cộng khi còn nhỏ[sửa|sửa mã nguồn]
Thông thường, kỹ năng thành thạo đầu tiên của trẻ em là đếm. Khi có một vấn để đòi hỏi phải kết hợp hai vật và ba vật lại với nhau, trẻ nhỏ mô hình hóa nó bằng các vật thể, thường là ngón tay hoặc hình vẽ, sau đó đếm tống số. Theo trình độ tăng dần, chúng học hoặc tìm ra cách “đếm lên”: khi yêu cầu tìm 2 + 3, trẻ bắt đầu đếm từ số ba (bỏ qua hai số đầu) và nói “ba, bốn, năm” (thường đánh dấu bằng ngón tay) và dừng lại tại năm. Đó là cách có vẻ gần như phổ quát mà trẻ có thể dễ dàng học được từ bạn bè hoặc giáo viên.[27] Đa số trẻ ra nó một cách độc lập. Với kinh nghiệm càng lớn, trẻ học được cách thực hiện phép cộng nhanh hơn khi khai thác tính giao hoán của phép cộng bằng cách đếm từ số lớn hơn, trong trường hợp này là bỏ qua ba số đầu và đếm “bốn, năm“. Cuối cùng, trẻ bắt đầu ghi nhớ một số phép cộng cơ sở nhất định (“tách và gộp số”), thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Một khi một số lượng phép toán nhất định đã đi vào bộ nhớ, trẻ bắt đầu rút ra những cái chưa biết từ những cái đã biết. Ví dụ, trẻ được yêu cầu cộng 6 và 7 có thể biết rằng 6 + 6 = 12 và do đó 6 + 7 lớn hơn 1 đơn vị hay bằng số 13.[28] Các phép toán cơ sở như vậy có thể được tìm ra rất nhanh và cuối cùng hầu hết học sinh tiểu học dựa vào các phép cộng cơ sở đã được ghi nhớ và suy ra để cộng một cách thuần thục.[29]
Các vương quốc khác nhau trình làng về số và số học ở những độ tuổi khác nhau và có nhiều nước dạy phép cộng trước tuổi đi học. [ 30 ] Tuy nhiên, nhìn chung trên toàn quốc tế, phép cộng được dạy vào cuối năm tiên phong của cấp tiểu học. [ 31 ]
Trẻ em thường được cho bảng cộng của những cặp số từ 0 đến 9 để nhớ. Biết được bảng đó, hoàn toàn có thể thực thi bất kể phép cộng nào .
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Hệ thập phân[sửa|sửa mã nguồn]
Điều kiện tiên quyết để thực thi phép cộng trong hệ thập phân là cần nhớ lại hoặc suy ra 100 ” phép cộng cơ sở ” một chữ số. Người ta hoàn toàn có thể nhớ thuộc lòng chúng nhưng những kỹ thuật sau đây có hiệu suất cao hơn với hầu hết người : [ 32 ]
- Tính chất giao hoán: Như đã đề cập ở trên, tính chất a + b = b + a làm giảm số “phép cộng cơ sở” từ 100 xuống còn 55.
- Thêm một hoặc hai: Cộng 1 hoặc 2 là một công việc cơ bản có thể được hoàn thành bằng phép đếm hoặc trực giác.
- Số không: Vì số 0 là đơn vị cộng nên phép cộng số 0 là tầm thường. Tuy nhiên, một số học sinh khi học về số học được giới thiệu về phép cộng rằng nó là một quá trình luôn luôn làm số hạng tăng lên; các bài toán đố có thể giúp việc “loại trừ” số 0 trở nên hợp lý.
- Gấp đôi: Cộng một số với chính nó có liên quan với phép đếm thêm 2 và với phép nhân. Các phép cộng “gấp đôi” tạo thành “cột trụ” cho nhiều phép cộng cơ sở liên quan khác và học sinh thường thấy chúng tương đối dễ hiểu.
- Gần gấp đôi: Một số phép cộng chẳng hạn như 6 + 7 = 13 có thể được suy ra nhanh chóng từ phép cộng “gấp đôi” 6 + 6 = 12 bằng cách cộng thêm 1, hoặc từ 7 + 7 = 14 rồi trừ đi 1.
- Năm và mười: Tổng có dạng 5 + x và 10 + x thường được ghi nhớ sớm hơn và có thể dùng để suy ra các phép cộng khác. Ví dụ, 6 + 7 = 13 có thể được suy ra từ 5 + 7 = 12 bằng cách cộng thêm 1.
- Tạo thành số mười: Một kỹ thuật khác là dùng 10 làm một số trung gian đối với phép cộng có chứa số 8 hoặc số 9; ví dụ, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.
Khi học viên lớn lên, họ ghi lại càng nhiều phép toán hơn vào bộ nhớ và học cách rút ra những phép toán khác một cách nhanh và thuận tiện. Có nhiều học viên không khi nào ghi lại toàn bộ những phép toán vào bộ nhớ nhưng vẫn hoàn toàn có thể nhanh gọn tìm ra được bất kể phép toán cơ bản nào .
Cách cơ bản để cộng những số có nhiều chữ số là sắp xếp những số hạng theo chiều dọc và cộng theo từng cột mở màn từ cột đơn vị chức năng ở bên phải. Nếu một cột lớn hơn 9 thì chữ số còn dư được ” nhớ ” sang cột tiếp theo. Chẳng hạn, trong phép cộng 27 + 59 :
¹ 27 + 59 ———— 86
7 + 9 = 16, viết 6 nhớ 1 ; 2 + 5 = 7, thêm 1 là 8. Ở đây chữ số 1 là phần nhớ. [ b ] Trong một kỹ thuật khác, phép cộng khởi đầu từ cột ở ngoài cùng bên trái ; khi đó, phép nhớ trở nên khó coi hơn, nhưng kỹ thuật này vẫn giúp ta có được hiệu quả gần đúng của tổng nhanh hơn. Ngoài ra, còn có nhiều giải pháp triển khai phép nhớ khác nữa .
Phân số thập phân[sửa|sửa mã nguồn]
Phân số thập phân hoàn toàn có thể được cộng theo một dạng khác của quy trình trên. [ 33 ] Đầu tiên, xếp hai phân số thập phân sao cho dấu thập phân ở cùng một vị trí, sau đó thêm những số 0 ở cuối một phân số thập phân ngắn hơn ( nếu cần ), rồi triển khai phép cộng tương tự như như trên. Dấu thập phân ở tác dụng ở đầu cuối được đặt ngay tại vị trí của nó trong hai số hạng .Ví dụ, hoàn toàn có thể triển khai phép cộng 45,1 + 4,34 như sau :
4 5, 1 0 + 4, 3 4 ———————————— 4 9, 4 4
Ký hiệu khoa học[sửa|sửa mã nguồn]
Trong ký hiệu khoa học, các số được viết dưới dạng
x
=
a
×
10
b
{displaystyle x=atimes 10^{b}}
a
{displaystyle a}
10
b
{displaystyle 10^{b}}
Ví dụ :
- 2, 34 × 10 − 5 + 5, 67 × 10 − 6 = 2, 34 × 10 − 5 + 0, 567 × 10 − 5 = 2, 907 × 10 − 5 { displaystyle 2,34 times 10 ^ { – 5 } + 5,67 times 10 ^ { – 6 } = 2,34 times 10 ^ { – 5 } + 0,567 times 10 ^ { – 5 } = 2,907 times 10 ^ { – 5 } }
Hệ đếm ngoài hệ thập phân[sửa|sửa mã nguồn]
Phép cộng trong những hệ đếm cơ số khác rất giống với phép cộng thập phân. Ví dụ, xét phép cộng hai số trong hệ nhị phân. [ 34 ] Cộng hai số có một chữ số trong hệ nhị phân tương đối đơn thuần qua một dạng của phép nhớ :
- 0 + 0 → 0
- 0 + 1 → 1
- 1 + 0 → 1
- 1 + 1 → 10, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21))
Cộng hai chữ số ” 1 ” thì được một chữ số ” 0 ” và 1 được thêm vào cột tiếp theo, tựa như như phép cộng hai số nhất định trong hệ thập phân ; nếu tác dụng bằng hoặc vượt quá giá trị của cơ số ( 10 ) thì chữ số bên trái được tăng thêm 1 đơn vị chức năng :
- 5 + 5 → 0, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101))
- 7 + 9 → 6, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101))
Đó còn được gọi là phép nhớ.[35] Khi kết quả của phép cộng vượt quá giá trị của một chữ số, thủ tục trước tiên là “nhớ” phần giá trị dư chia cho cơ số (10/10) sang cột bên trái và thêm nó vào giá trị thuộc vị trí tiếp theo. Phép nhớ trong hệ nhị phân được thực hiện tương tự:
1 1 1 1 1 ( phần nhớ ) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36
Trong ví dụ này, có hai số được cộng với nhau là 011012 ( 1310 ) và 101112 ( 2310 ). Hàng trên cùng là những bit trong phần nhớ. Bắt đầu từ cột ngoài cùng bên phải : 1 + 1 = 102, viết 0 nhớ 1 ; cột thứ hai : 1 + 0 + 1 = 102, viết 0 nhớ 1 ; cột thứ ba : 1 + 1 + 1 = 112, viết 1 nhớ 1. Tiếp tục như vậy thì hiệu quả sau cuối là 1001002 ( 3610 ) .
Các máy tính analog thao tác trực tiếp với những đại lượng vật lý, thế cho nên chính sách thực thi phép cộng của chúng phụ thuộc vào vào hình thức của phép tính. Bộ cộng cơ học hoàn toàn có thể sử dụng vị trí của những khối trượt làm đại diện thay mặt cho những số trong phép cộng, trong trường hợp đó, phép cộng được thực thi nhờ vào một đòn kích bẩy. Nếu phần được cộng thêm là vận tốc quay của hai trục, chúng hoàn toàn có thể được cộng bằng vi sai. Một bộ cộng thủy lực hoàn toàn có thể cộng thêm áp lực đè nén vào hai khoang bằng cách khai thác định luật thứ hai của Newton để cân đối lực trên một cụm pittong. Tình huống thông dụng nhất của một máy tính analog là cộng hai điện áp ; điều này hoàn toàn có thể được triển khai gần đúng với một mạng điện trở, nhưng để tốt hơn thì nên sử dụng một mạch khuếch đại thuật toán .Phép cộng cũng là nền tảng hoạt động giải trí của máy tính kỹ thuật số, trong đó hiệu suất của việc thực thi phép cộng, đặc biệt quan trọng là chính sách nhớ, là một hạn chế quan trọng tương quan đến hiệu suất tổng thể và toàn diện .Bàn tính là một công cụ đo lường và thống kê đã được sử dụng nhiều thế kỷ từ trước khi mạng lưới hệ thống chữ số văn minh được sử dụng, và thời nay vẫn phổ cập trong giới thương nhân châu Á, châu Phi ; nó Open tối thiểu từ 2700 – 2300 TCN, khi nó được sử dụng tại Sumer .Blaise Pascal đã ý tưởng ra máy tính cơ học vào năm 1642 ; nó là máy tính cộng tiên phong. Nó sử dụng một chính sách nhớ dựa vào trọng tải. Nó là máy tính cơ học duy nhất hoạt động giải trí trong thế kỷ 17 và là máy tính kỹ thuật số tự động hóa sớm nhất. Máy tính của Pascal bị số lượng giới hạn bởi chính sách mang, nó buộc những bánh quay chỉ quay một chiều để cộng. Giovanni Poleni đã dựa theo Pascal, kiến thiết xây dựng chiếc máy tính cơ học thứ hai vào năm 1709, nó là một chiếc đồng hồ đeo tay giám sát làm bằng gỗ, khi được thiết lập hoàn toàn có thể tự động hóa nhân hai số .
Phép cộng phân số[sửa|sửa mã nguồn]
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+bc}{bd}}}
(
b
,
d
≠
0
)
{displaystyle (b,dneq 0)}
- ^
Addend không phải là từ Latinh; trong tiếng Latinh nó cần phải tiếp tục được chia loại từ như trong numerus addendus (“số được cộng vào”)
- ^
Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFVan_de_Walle2004 ( trợ giúp
Cách này trong tiếng Anh được gọi là ” carry “, nhưng 1 số ít tác giả cho rằng từ này không thích hợp trong giảng dạy. Van de Walle 2004, tr. 211 gọi nó là từ ” lỗi thời và gây hiểu nhầm về mặt khái niệm ” và do đó nên ưu tiên dùng từ ” trade ” .
