Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.15 KB, 59 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
Bùi Bá Thiệu
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Hà Nội – Năm 2017
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
Bùi Bá Thiệu
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Giải tích
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ANH TÚ
Hà Nội – Năm 2017
Mục lục
Lời mở đầu
1
1 Một số kiến thức về hàm điều hòa
3
1.1
Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa. .. .. .. .. .
1.2
Tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với phép tịnh
1.3
tiến, phép vị tự và phép quay. .. .. .. .. .. .. .
5
Phép biến đổi Kelvin. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
8
2 Một số tính chất của hàm điều hòa
2.1
3
12
Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa. .. .. .. . .
15
2.1.1
Định lý giá trị trung bình. .. .. .. .. .. .
15
2.1.2
Nguyên lý cực đại mạnh. .. .. .. .. .. . .
17
2.1.3
Nguyên lý cực tiểu mạnh. .. .. .. .. .. . .
18
2.1.4
Bất đẳng thức Harnack. .. .. .. .. .. .. .
24
2.2
Định lý Liouville. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
25
2.3
Các định lý về sự hội tụ. .. .. .. .. .. .. .. . .
28
3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace
34
3.1
Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace. .. .
34
3.2
Hàm Green. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
36
i
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
3.2.1
3.3
BÙI BÁ THIỆU
Cách xây dựng hàm Green. .. .. .. .. .. .
Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương
trình Laplace trong hình cầu
3.4
36
.. .. .. .. .. .. . .
39
3.3.1
Hàm Green cho hình cầu. .. .. .. .. .. . .
39
3.3.2
Công thức Poisson cho hình cầu
.. .. .. . .
41
Hàm Green cho nửa không gian. .. .. .. .. .. . .
45
Kết luận
49
Tài liệu tham khảo
50
ii
Danh mục các kí hiệu
Trong toàn bộ khóa luận, ta sử dụng các kí hiệu sau đây.
• Rn là không gian Euclide thực n chiều (n ∈ N, n > 1).
• Rn+ = {x = (x1, x2 ,. .., xn ) ∈ Rn |xn > 0} là nửa không gian.
• Cho x = (x1, x2 ,. .., xn ) ∈ Rn, y = (y1, y2 ,. .., yn ) ∈ Rn, ta kí
hiệu chuẩn của x, tích vô hướng và khoảng cách của x và y lần
lượt là
|x| =
x21 + x22 + · · · + x2n ,
x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ,
|x − y| =
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
• Cho x ∈ Rn, các tập hợp A, B ⊂ Rn. Khi đó ta kí hiệu
d (x, A) = inf |x − y|,
y∈A
là khoảng cách từ điểm x đến tập A.
iii
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
d (A, B) =
inf
x∈A, y∈B
|x − y|,
là khoảng cách giữa hai tập A và B.
D=
sup
|x − y|,
x∈A, y∈A
là đường kính của tập A.
• B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x| tâm x và bán kính R > 0.
• B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x|
R} là hình cầu đóng trong Rn với
tâm x và bán kính R > 0.
• ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .
• Ω là một tập mở trong Rn, ∂Ω là biên của Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω là bao
đóng của Ω.
• A ⊂⊂ Ω là A ⊂ A ⊂ Ω và A là tập compact.
• µ = (µ1, µ2 ,. .., µn ) là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với ∂Ω.
iv
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
• Nếu u : Ω → R, ta viết
u (x) = u (x1, x2 ,. .., xn )
(x ∈ Ω) .
Ta thường viết
∂u
,
∂xi
∂ 2u
= 2,
∂xj
∂ 2u
=
,
∂xi ∂xj
∂ 3u
=
,
∂xi ∂xj ∂xk
uxi =
uxj xj
uxi xj
uxi xj xk
v.v.
Một vectơ có dạng α = (α1, α2 ,. .., αn ), trong đó mỗi thành phần
αi là một số nguyên không âm (i ∈ {1, 2,. .., n}), được gọi là một
đa chỉ số bậc
|α| = α1 + α2 + · · · + αn .
Cho trước một đa chỉ số α, kí hiệu
Dα u =
∇u =
∂ |α| u
.
∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnn
∂u
∂u ∂u
,
,…,
∂x1 ∂x2
∂xn
là gradient của u.
n
∆u =
i=1
là toán tử Laplace của u.
v
∂ 2u
∂x2i
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
∂u
là đạo hàm của u theo hướng vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài
∂µ
µ đối với ∂Ω.
✂
1
nωn Rn−1
udS
∂B(ξ,R)
là giá trị trung bình của u trên ∂B (ξ, R).
✂
1
ωn R n
u (x) dx
B(ξ,R)
là giá trị trung bình của u trên B (ξ, R).
• C(Ω) là không gian tất cả các hàm liên tục trên Ω.
• C k (Ω) (k ∈ N, k
1) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm
riêng đến cấp k thuộc C(Ω).
• C ∞ (Ω) là không gian tất cả các hàm thuộc C k (Ω) với mọi k ∈ N.
• Cho A ⊂ Rn bất kì, ta kí hiệu
C(A) là không gian tất cả các hàm thuộc C(A0 ) có thác triển
liên tục trên A, với A0 là phần trong của tập A.
C k (A) (k ∈ N, k
1) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm
riêng đến cấp k thuộc C(A).
vi
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
• Lp (Ω) =
BÙI BÁ THIỆU
u : Ω → R u là đo được Lebesgue, u
Lp (Ω)
trong đó
u
Lp (Ω)
✂
1/p
|u|p dx
=
(1
p Ω
• L∞ (Ω) = u : Ω → R u là đo được Lebesgue, u
trong đó
u
L∞ (Ω)
= ess sup |u| .
vii
Ω
L∞ (Ω)
Lời mở đầu
Hàm điều hòa là một khái niệm cơ bản của giải tích hiện đại. Việc
hiểu rõ các tính chất của hàm điều hòa là không thể thiếu được khi
nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Cùng với đó các nghiên cứu
về bài toán biên đối với phương trình Laplace cho ta những kết quả
thú vị.
Vì vậy với lí do trên cùng với sự đam mê của bản thân và sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo – TS. Nguyễn Anh Tú ở Viện Toán học em
xin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài: ” Một số tính chất cơ
bản của hàm điều hòa “.
Nội dung chính của khóa luận được chia làm ba chương.
Chương 1 “Một số kiến thức về hàm điều hòa” trình bày định nghĩa
và ví dụ về hàm điều hòa, tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với
phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay, phép biến đổi Kelvin.
Chương 2 “Một số tính chất của hàm điều hòa” nghiên cứu một số
tính chất của hàm điều hòa. Đó là định lý giá trị trung bình, nguyên
1
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
lý cực đại mạnh, nguyên lý cực tiểu mạnh, bất đẳng thức Harnack,
định lý Liouville và các định lý về sự hội tụ.
Chương 3 “Bài toán biên đối với phương trình Laplace” trình bày
về bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace, hàm Green, cách
xây dựng hàm Green, sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với
phương trình Laplace trong hình cầu, hàm Green cho nửa không gian.
Tài liệu tham khảo chính của khóa luận là Chương 3, Chương 4
của tài liệu [1], Chương 2 của tài liệu [2], Chương 3 của tài liệu [3],
Chương 1, Chương 4 của tài liệu [4].
Kết quả của khóa luận là đã trình bày được một số cách chứng
minh mới ngắn gọn cho Định lý 2.13, Định lý 2.14 của Chương 2 và
có Định lý 1.2 của Chương 1 là mới.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho em trong quá trình thực hiện bản khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên thực hiện
Bùi Bá Thiệu
2
Chương 1
Một số kiến thức về hàm điều hòa
1.1
Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa
Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ω
nếu thỏa mãn phương trình Laplace
∆u(x) = 0,
∀x ∈ Ω.
Hàm u được gọi là hàm điều hòa trong tập A ⊂ Rn (không nhất
thiết mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trong một
tập mở chứa A.
Ví dụ 1.1.1. (i) Hàm u (x, y) = x + y + 1 là hàm điều hòa trong R2 .
x
là hàm điều hòa trong R2 (0, 0).
(ii) Hàm u (x, y) = 2
2
x +y
(iii) Hàm u (x, y, z) = x2 + 2y 2 − 3z 2 là hàm điều hòa trong R3 .
(iv) Các hàm tọa độ u (x) = xi (i ∈ {1, 2,. .., n}) là hàm điều hòa
trong Rn .
(v) Với mỗi ξ ∈ Rn, hàm Γ (x − ξ) xác định bởi
3
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
1
|x − ξ|2−n
n (2 − n) ωn
Γ (x − ξ) =
1 ln |x − ξ|
2π
, nếu n > 2,
, nếu n = 2,
là hàm điều hòa trong Rn {ξ} và được gọi là nghiệm cơ bản của phương
trình Laplace.
Chứng minh. Với mọi n ∈ N, n
2 và x = ξ, ta có
∂Γ
1
=
(xi − ξi )|x − ξ|−n, ∀i ∈ {1, 2,. .., n} ,
∂xi
nωn
2
1
∂ Γ
1
−n
|x
−
ξ|
−
(xi − ξi )2 |x − ξ|−n−2, ∀i ∈ {1, 2,. .., n} .
=
2
∂xi
nωn
ωn
Suy ra
n
∆Γ(x) =
i=1
∂ 2Γ
1
1
−n
=
|x
−
ξ|
−
|x − ξ|−n = 0.
2
∂xi
ωn
ωn
Vậy Γ là hàm điều hòa trong Rn {ξ}.
Ngoài ra, trong ví dụ (v) ta có các đánh giá sau đối với đạo hàm
của hàm Γ như sau
∂Γ
∂xi
1
|x − ξ|1−n ,
nωn
∀i ∈ {1, 2,. .., n} ,
∂ 2Γ
∂xi ∂xj
1
|x − ξ|−n ,
ωn
∀i, j ∈ {1, 2,. .., n} .
Thật vậy, với mọi i ∈ {1, 2,. .., n} thì
4
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
∂Γ
1
=
|xi − ξi | |x − ξ|−n
∂xi
nωn
1
1
|x − ξ| |x − ξ|−n =
|x − ξ|1−n .
nωn
nωn
Với mọi i, j ∈ {1, 2,. .., n} thì
∂ 2Γ
1
=
|x − ξ|2 δij − n(xi − ξi )(xj − ξj ) |x − ξ|−n−2 ,
∂xi ∂xj
nωn
trong đó
δij =
1, nếu i = j,
0, nếu i = j.
Nếu i = j thì
∂ 2Γ
∂ 2Γ
1
=
|x − ξ|2 − n(xi − ξi )2 |x − ξ|−n−2
=
2
∂xi ∂xj
∂xi
nωn
1
1
n|x − ξ|2 |x − ξ|−n−2 =
|x − ξ|−n .
nωn
ωn
Nếu i = j thì
∂ 2Γ
1
=
|(xi − ξi )(xj − ξj )| |x − ξ|−n−2
∂xi ∂xj
ωn
1
1
|x − ξ|2 |x − ξ|−n−2 =
|x − ξ|−n .
ωn
ωn
1.2
Tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với
phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay
Định lý 1.1. Giả sử u (x) là hàm điều hòa trong Rn. Khi đó các hàm
sau đây cũng là hàm điều hòa
(i) u(x + h), với h = (h1, h2 ,. .., hn ) ∈ Rn là vectơ bất kì,
(ii) u(λx), với λ ∈ R,
5
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
(iii) u(Cx), với C là ma trận trực giao bất kì.
Chứng minh. (i) Đặt y = x + h thì
∀j ∈ {1, 2,. .., n} .
yj = xj + hj ,
Ta có
∂u
(x) =
∂xj
∂ 2u
(x) =
∂x2j
∂u
∂yj
∂u
(y)
(x) =
(y), ∀j ∈ {1, 2,. .., n} ,
∂yj
∂xj
∂yj
∂ 2 u ∂yj
∂ 2u
(y)
(x) = 2 (y), ∀j ∈ {1, 2,. .., n} .
∂yj2 ∂xj
∂yj
Do đó
n
∆u(x) =
j=1
∂ 2u
(x) =
∂x2j
n
j=1
∂ 2u
(y) = 0,
∂yj2
∀x ∈ Rn .
Vậy u (x + h) là hàm điều hòa trong Rn .
(ii) Đặt y = λx thì
yj = λxj ,
∀j ∈ {1, 2,. .., n} .
Ta có
∂u
∂u
∂yj
∂u
(x) =
(y)
(x) = λ
(y), ∀j ∈ {1, 2,. .., n} ,
∂xj
∂yj
∂xj
∂yj
2
∂ 2u
∂ 2 u ∂yj
2 ∂ u
(x) = λ 2 (y)
(x) = λ
(y), ∀j ∈ {1, 2,. .., n} .
∂x2j
∂yj
∂xj
∂yj2
6
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
Do đó
n
∆u(x) =
j=1
∂ 2u
(x) = λ2
2
∂xj
n
j=1
∂ 2u
(y) = 0,
∂yj2
∀x ∈ Rn .
Vậy u(λx) là hàm điều hòa trong Rn .
(iii) Đặt y = Cx thì
n
yi =
cij xj ,
∀i ∈ {1, 2,. .., n} .
j=1
Ta có
∂u
(x) =
∂xk
2
∂ u
(x) =
∂x2k
n
i=1
n
∂u
∂yi
(y)
(x) =
∂yi ∂xk
n
cik
i=1
∂u
(y),
∂yi
∀k ∈ {1, 2,. .., n} ,
2
cik cmk
i=1 m=1
n
∂ u
(y),
∂yi ∂ym
∀k ∈ {1, 2,. .., n} .
Vì C là ma trận trực giao nên ta có
n
cik cmk = δim ,
k=1
trong đó
δim =
1, nếu i = m,
0, nếu i = m.
Suy ra
7
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
n
∆u (x) =
k=1
n
BÙI BÁ THIỆU
∂ 2u
(x) =
∂x2k
n
n
k=1 i=1
2
cik cmk
=
i=1 m=1 k=1
n
n
=
δim
i=1 m=1
n
2
=
i=1
n
n
n
∂ 2u
cik cmk
(y)
∂y
∂y
i
m
m=1
∂ u
(y)
∂yi ∂ym
∂ 2u
(y)
∂yi ∂ym
∂ u
(y) = 0,
∂yi2
∀x ∈ Rn .
Vậy u(Cx) là hàm điều hòa trong Rn .
1.3
Phép biến đổi Kelvin
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu hàm điều hòa trên tập mở không
bị chặn ta thường thêm điểm ∞ vào Rn. Tôpô trên Rn ∪ {∞} được
xây dựng một cách tự nhiên như sau. Tập ω ⊂ Rn ∪ {∞} là tập
mở nếu nó là tập con mở của Rn theo nghĩa thông thường hoặc nếu
ω = {∞} ∪ (Rn A), trong đó A là tập compact của Rn. Không gian
tôpô thu được là compact và được gọi là sự compact hóa một điểm
của Rn. Qua phép chiếu nổi thông thường, Rn ∪ {∞} đồng phôi với
mặt cầu đơn vị trong Rn+1. Ánh xạ x → x∗, trong đó
x/|x|2, nếu x = {0, ∞} ,
∗
x = 0
, nếu x = ∞,
∞
, nếu x = 0,
8
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
được gọi là phép nghịch đảo của Rn ∪ {∞} qua mặt cầu đơn vị.
Chú ý rằng nếu x ∈
/ {0, ∞} thì x∗ nằm trên tia từ gốc tới x, với
|x∗ | = 1/ |x| .
Ta có thể thử lại rằng phép nghich đảo qua mặt cầu là liên tục, là
nghịch đảo của chính nó, biến một lân cận của ∞ thành một lân cận
của 0.
Với A ⊂ Rn ∪ {∞} bất kì, ta định nghĩa A∗ = {x∗ |x ∈ A}.
Định nghĩa 1.2. Cho hàm u xác định trên tập A ⊂ Rn {0}, phép
biến đổi Kelvin của u là hàm K[u] trên A∗ xác định bởi
K [u] (x) = |x|2−n u (x∗ ) .
Ta dễ thấy rằng K [K [u]] = u, với mọi hàm u như trên. Nói cách
khác phép biến đổi Kelvin có biến đổi ngược là chính nó. Hơn nữa,
phép biến đổi Kelvin có tính chất tuyến tính, bởi vì nếu u, v là các
hàm trên A và a, b là hằng số thì
K [au + bv] = aK [u] + bK [v] .
Định lý 1.2. Nếu Ω ⊂ Rn {0}, u ∈ C 2 (Ω) thì u là hàm điều hòa
trong Ω khi và chỉ khi K [u] là hàm điều hòa trong Ω∗ .
Chứng minh. Với mọi x ∈ Ω∗, ta có
9
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
∂K [u]
∂u
(x) = (2 − n) |x|−n xi u (x∗ ) + |x|−n ∗ (x∗ )
∂xi
∂xi
n
−n−2
− 2xi |x|
xj
j=1
∂u ∗
(x ) ,
∂x∗j
ở đây x∗ = (x∗1, x∗2 ,. .., x∗n ) ∈ Ω.
Đặt
f (x) = (2 − n) |x|−n xi u (x∗ ) ,
g (x) = |x|−n
∂u ∗
(x ) ,
∂x∗i
n
−n−2
h (x) = 2xi |x|
xj
j=1
∂u ∗
(x ) .
∂x∗j
Ta có
∂f
(x) = (2 − n) |x|−n u (x∗ ) − n (2 − n) x2i |x|−n−2 u (x∗ )
∂xi
−n−2
+ (2 − n) |x|
∂u ∗
2 (2 − n) x2i
xi ∗ (x ) −
∂xi
|x|n+4
2
n
xj
j=1
∂g
∂u
∂ u
(x) = −n|x|−n−2 xi ∗ (x∗ ) + |x|−n−2 ∗2 (x∗ )
∂xi
∂xi
∂xi
n
−n−4
− 2xi |x|
∂ 2u
xj ∗ ∗ (x∗ ),
∂xi ∂xj
j=1
10
∂u ∗
(x ) ,
∂x∗j
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
∂h
(x) = 2|x|−n−2
∂xi
BÙI BÁ THIỆU
n
xj
j=1
∂u ∗
(x )
∂x∗j
n
− 2 (n +
2) x2i |x|−n−4
xj
j=1
−n−2
+ 2|x|
∂u ∗
(x )
∂x∗j
∂u
xi ∗ (x∗ ) + 2|x|−n−4
∂xi
n
n
−n−6
x2i xj xk
− 4|x|
j=1 k=1
n
j=1
∂ 2u
xi xj ∗ ∗ (x∗ )
∂xi ∂xj
∂ 2u
(x∗ ) .
∗
∗
∂xj ∂xk
Do đó
n
∆K [u] (x) =
i=1
∂ 2 K [u]
(x) =
∂x2i
n
= |x|−n−2
i=1
n
i=1
∂f
∂g
∂h
(x) +
(x) −
(x)
∂xi
∂xi
∂xi
2
∂ u ∗
(x ) = |x|−n−2 ∆u (x∗ ) .
∗2
∂xi
Từ đó, ta thấy ∆u = 0 trong Ω khi và chỉ khi ∆K [u] = 0 trong Ω∗ .
Vậy u là hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi K [u] là hàm điều
hòa trong Ω∗ .
11
Chương 2
Một số tính chất của hàm điều hòa
Trong chương này ta trình bày các tính chất của hàm điều hòa.
Trước hết, ta nhắc lại các công thức tích phân cơ bản.
Các công thức tích phân cơ bản
Trong mục này, ta giả thiết rằng Ω là một tập bị chặn trong Rn ,
∂Ω đủ trơn.
Định lý 2.1 (Công thức Gauss-Ostrogradsky). Cho u1, u2 ,. .., un là
các hàm thuộc C Ω ∩ C 1 (Ω). Khi đó
✂
Ω
n
j=1
∂uj
dx =
∂xj
✂
n
uj µj dS.
∂Ω j=1
Định lý 2.2 (Công thức tích phân từng phần). Cho u, v là các hàm
thuộc C Ω ∩ C 1 (Ω). Khi đó
12
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
✂
BÙI BÁ THIỆU
✂
∂u
vdx =
∂xj
Ω
✂
uvµj dS −
u
∂v
dx.
∂xj
Ω
∂Ω
Chứng minh. Áp dụng công thức Gauss-Ostrogradsky, ta có
✂
∂(uv)
dx =
∂xj
Ω
✂
uvµj dS.
∂Ω
Suy ra
✂
✂
∂u
vdx +
∂xj
Ω
∂v
u
dx =
∂xj
✂
uvµj dS.
Ω
∂Ω
✂
✂
Do đó
✂
∂u
vdx =
∂xj
Ω
uvµj dS −
u
∂v
dx.
∂xj
Ω
∂Ω
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.3 (Công thức Green thứ nhất). Cho u, v là các hàm thuộc
C 1 Ω ∩ C 2 (Ω). Khi đó
✂
✂
∂u
v dS −
∂µ
v∆udx =
Ω
✂
∇u · ∇vdx.
Ω
∂Ω
Chứng minh. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
✂
n
✂
v∆udx =
v
j=1 Ω
✂
Ω
=
∂Ω
∂ 2u
dx =
∂x2j
∂u
v dS −
∂µ
✂
n
✂
v
j=1
∂Ω
∇u · ∇vdx.
Ω
13
∂u
µj dS −
∂xj
✂
Ω
∂u ∂v
dx
∂xj ∂xj
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
BÙI BÁ THIỆU
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.4 (Công thức Green thứ hai). Cho u, v là các hàm thuộc
C 1 Ω ∩ C 2 (Ω). Khi đó
✂
✂
(v∆u − u∆v) dx =
Ω
v
∂u
∂v
−u
dS.
∂µ
∂µ
∂Ω
Chứng minh. Áp dụng công thức Green thứ nhất ta được
✂
✂
v∆udx =
Ω
∂Ω
✂
✂
u∆vdx =
Ω
∂u
v dS −
∂µ
✂
∇u · ∇vdx,
Ω
∂v
u dS −
∂µ
✂
∇u · ∇vdx.
Ω
∂Ω
Do đó
✂
✂
(v∆u − u∆v) dx =
v∆udx −
✂Ω
Ω
✂
=
u∆vdx
✂
Ω
∂u
v dS −
∂µ
∂Ω
∂Ω
∂v
u dS =
∂µ
✂
v
∂u
∂v
−u
dS.
∂µ
∂µ
∂Ω
Vậy định lý được chứng minh.
Bây giờ, ta sẽ đưa ra một số tính chất của hàm điều hòa.
14
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
2.1
2.1.1
BÙI BÁ THIỆU
Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa
Định lý giá trị trung bình
Định lý 2.5. Giả sử u ∈ C 2 (Ω) là hàm điều hòa trong Ω. Khi đó, với
mọi B (ξ, R) ⊂ Ω, ta có các đẳng thức sau
✂
1
u (ξ) =
nωn Rn−1
u (ξ) =
udS,
✂ ∂B(ξ,R)
1
ωn R n
u (x) dx.
B(ξ,R)
Chứng minh. Với ρ ∈ (0, R]. Áp dụng công thức Green thứ nhất ta
nhận được
✂
✂
∂u
dS =
∂υ
∂B(ξ,ρ)
∆u (x) dx = 0,
B(ξ,ρ)
trong đó υ là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với ∂B (ξ, ρ).
x−ξ
Mặt khác, đặt ω =
và biểu diễn u(x) = u(ξ + ρω), ta có
ρ
✂
∂B(ξ,ρ)
∂u
dS = ρn−1
∂υ
✂
∂u
(ξ + ρω) dS (ω)
∂υ
∂B(0,1)
✂
= ρn−1
d
u (ξ + ρω) dS (ω)
dρ
∂B(0,1)
✂
d
= ρn−1
dρ
ρ1−n udS .
∂B(ξ,ρ)
Từ đó ta được
15
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
✂
d
dρ
BÙI BÁ THIỆU
ρ1−n udS = 0,
∀ρ ∈ (0, R] .
∂B(ξ,ρ)
Suy ra
✂
✂
ρ1−n udS = R1−n
∂B(ξ,ρ)
udS.
∂B(ξ,R)
Lại có
✂
ρ1−n udS = nωn ρn−1 ρ1−n u (xρ ) = nωn u (xρ ),
∂B(ξ,ρ)
trong đó xρ ∈ ∂B (ξ, ρ).
Do đó
✂
nωn u (xρ ) = R1−n
udS.
∂B(ξ,R)
Cho ρ → 0 ta được
1
u (ξ) =
nωn Rn−1
✂
udS.
∂B(ξ,R)
Ta có
16
Mục lụcLời mở đầu1 Một số kỹ năng và kiến thức về hàm điều hòa1. 1 Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa. .. .. .. .. . 1.2 Tính không bao giờ thay đổi của lớp hàm điều hòa so với phép tịnh1. 3 tiến, phép vị tự và phép quay. .. .. .. .. .. .. . Phép đổi khác Kelvin. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2 Một số đặc thù của hàm điều hòa2. 112C ác tính chất cơ bản của hàm điều hòa. .. .. .. .. 152.1.1 Định lý giá trị trung bình. .. .. .. .. .. . 152.1.2 Nguyên lý cực lớn mạnh. .. .. .. .. .. .. 172.1.3 Nguyên lý cực tiểu mạnh. .. .. .. .. .. .. 182.1.4 Bất đẳng thức Harnack. .. .. .. .. .. .. . 242.2 Định lý Liouville. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 252.3 Các định lý về sự quy tụ. .. .. .. .. .. .. .. .. 283 Bài toán biên so với phương trình Laplace343. 1B ài toán Dirichlet so với phương trình Laplace. .. . 343.2 Hàm Green. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 36K hóa luận tốt nghiệp Đại học3. 2.13.3 BÙI BÁ THIỆUCách kiến thiết xây dựng hàm Green. .. .. .. .. .. . Sự sống sót nghiệm của bài toán Dirichlet so với phươngtrình Laplace trong hình cầu3. 436. .. .. .. .. .. .. . 393.3.1 Hàm Green cho hình cầu. .. .. .. .. .. .. 393.3.2 Công thức Poisson cho hình cầu. .. .. .. . 41H àm Green cho nửa khoảng trống. .. .. .. .. .. .. 45K ết luận49Tài liệu tham khảo50iiDanh mục những kí hiệuTrong hàng loạt khóa luận, ta sử dụng những kí hiệu sau đây. • Rn là khoảng trống Euclide thực n chiều ( n ∈ N, n > 1 ). • Rn + = { x = ( x1, x2 ,. .., xn ) ∈ Rn | xn > 0 } là nửa khoảng trống. • Cho x = ( x1, x2 ,. .., xn ) ∈ Rn, y = ( y1, y2 ,. .., yn ) ∈ Rn, ta kíhiệu chuẩn của x, tích vô hướng và khoảng cách của x và y lầnlượt là | x | = x21 + x22 + · · · + x2n, x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn, | x − y | = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 + · · · + ( xn − yn ) 2. • Cho x ∈ Rn, những tập hợp A, B ⊂ Rn. Khi đó ta kí hiệud ( x, A ) = inf | x − y |, y ∈ Alà khoảng cách từ điểm x đến tập A.iiiKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆUd ( A, B ) = infx ∈ A, y ∈ B | x − y |, là khoảng cách giữa hai tập A và B.D = sup | x − y |, x ∈ A, y ∈ Alà đường kính của tập A. • B ( x, R ) = { y ∈ Rn | | y − x | 0. • B ( x, R ) = { y ∈ Rn | | y − x | R } là hình cầu đóng trong Rn vớitâm x và nửa đường kính R > 0. • ωn là thể tích hình cầu đơn vị chức năng trong Rn. • Ω là một tập mở trong Rn, ∂ Ω là biên của Ω, Ω = Ω ∪ ∂ Ω là baođóng của Ω. • A ⊂ ⊂ Ω là A ⊂ A ⊂ Ω và A là tập compact. • µ = ( µ1, µ2 ,. .., µn ) là vectơ đơn vị chức năng pháp tuyến ngoài so với ∂ Ω. ivKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU • Nếu u : Ω → R, ta viếtu ( x ) = u ( x1, x2 ,. .., xn ) ( x ∈ Ω ). Ta thường viết ∂ u ∂ xi ∂ 2 u = 2, ∂ xj ∂ 2 u ∂ xi ∂ xj ∂ 3 u ∂ xi ∂ xj ∂ xkuxi = uxj xjuxi xjuxi xj xkv. v. Một vectơ có dạng α = ( α1, α2 ,. .., αn ), trong đó mỗi thành phầnαi là một số nguyên không âm ( i ∈ { 1, 2 ,. .., n } ), được gọi là mộtđa chỉ số bậc | α | = α1 + α2 + · · · + αn. Cho trước một đa chỉ số α, kí hiệuDα u = ∇ u = ∂ | α | u ∂ xα1 1 ∂ xα2 2 · · · ∂ xαnn ∂ u ∂ u ∂ u, …, ∂ x1 ∂ x2 ∂ xnlà gradient của u. ∆ u = i = 1 là toán tử Laplace của u. ∂ 2 u ∂ x2iKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU ∂ ulà đạo hàm của u theo hướng vectơ đơn vị chức năng pháp tuyến ngoài ∂ µµ so với ∂ Ω. nωn Rn − 1 udS ∂ B ( ξ, R ) là giá trị trung bình của u trên ∂ B ( ξ, R ). ωn R nu ( x ) dxB ( ξ, R ) là giá trị trung bình của u trên B ( ξ, R ). • C ( Ω ) là khoảng trống tổng thể những hàm liên tục trên Ω. • C k ( Ω ) ( k ∈ N, k1 ) là khoảng trống toàn bộ những hàm có đạo hàmriêng đến cấp k thuộc C ( Ω ). • C ∞ ( Ω ) là khoảng trống tổng thể những hàm thuộc C k ( Ω ) với mọi k ∈ N. • Cho A ⊂ Rn bất kỳ, ta kí hiệuC ( A ) là khoảng trống tổng thể những hàm thuộc C ( A0 ) có thác triểnliên tục trên A, với A0 là phần trong của tập A.C k ( A ) ( k ∈ N, k1 ) là khoảng trống toàn bộ những hàm có đạo hàmriêng đến cấp k thuộc C ( A ). viKhóa luận tốt nghiệp Đại học • Lp ( Ω ) = BÙI BÁ THIỆUu : Ω → R u là đo được Lebesgue, uLp ( Ω ) trong đóLp ( Ω ) 1 / p | u | p dx = ( 1 p 2, , nếu n = 2, là hàm điều hòa trong Rn { ξ } và được gọi là nghiệm cơ bản của phươngtrình Laplace. Chứng minh. Với mọi n ∈ N, n2 và x = ξ, ta có ∂ Γ ( xi − ξi ) | x − ξ | − n, ∀ i ∈ { 1, 2 ,. .., n }, ∂ xinωn ∂ Γ − n | xξ | ( xi − ξi ) 2 | x − ξ | − n − 2, ∀ i ∈ { 1, 2 ,. .., n }. ∂ xinωnωnSuy ra ∆ Γ ( x ) = i = 1 ∂ 2 Γ − n | xξ | | x − ξ | − n = 0. ∂ xiωnωnVậy Γ là hàm điều hòa trong Rn { ξ }. Ngoài ra, trong ví dụ ( v ) ta có những nhìn nhận sau so với đạo hàmcủa hàm Γ như sau ∂ Γ ∂ xi | x − ξ | 1 − n, nωn ∀ i ∈ { 1, 2 ,. .., n }, ∂ 2 Γ ∂ xi ∂ xj | x − ξ | − n, ωn ∀ i, j ∈ { 1, 2 ,. .., n }. Thật vậy, với mọi i ∈ { 1, 2 ,. .., n } thìKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU ∂ Γ | xi − ξi | | x − ξ | − n ∂ xinωn | x − ξ | | x − ξ | − n = | x − ξ | 1 − n. nωnnωnVới mọi i, j ∈ { 1, 2 ,. .., n } thì ∂ 2 Γ | x − ξ | 2 δij − n ( xi − ξi ) ( xj − ξj ) | x − ξ | − n − 2, ∂ xi ∂ xjnωntrong đóδij = 1, nếu i = j, 0, nếu i = j. Nếu i = j thì ∂ 2 Γ ∂ 2 Γ | x − ξ | 2 − n ( xi − ξi ) 2 | x − ξ | − n − 2 ∂ xi ∂ xj ∂ xinωnn | x − ξ | 2 | x − ξ | − n − 2 = | x − ξ | − n. nωnωnNếu i = j thì ∂ 2 Γ | ( xi − ξi ) ( xj − ξj ) | | x − ξ | − n − 2 ∂ xi ∂ xjωn | x − ξ | 2 | x − ξ | − n − 2 = | x − ξ | − n. ωnωn1. 2T ính không bao giờ thay đổi của lớp hàm điều hòa đối vớiphép tịnh tiến, phép vị tự và phép quayĐịnh lý 1.1. Giả sử u ( x ) là hàm điều hòa trong Rn. Khi đó những hàmsau đây cũng là hàm điều hòa ( i ) u ( x + h ), với h = ( h1, h2 ,. .., hn ) ∈ Rn là vectơ bất kể, ( ii ) u ( λx ), với λ ∈ R, Khóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU ( iii ) u ( Cx ), với C là ma trận trực giao bất kỳ. Chứng minh. ( i ) Đặt y = x + h thì ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }. yj = xj + hj, Ta có ∂ u ( x ) = ∂ xj ∂ 2 u ( x ) = ∂ x2j ∂ u ∂ yj ∂ u ( y ) ( x ) = ( y ), ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }, ∂ yj ∂ xj ∂ yj ∂ 2 u ∂ yj ∂ 2 u ( y ) ( x ) = 2 ( y ), ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }. ∂ yj2 ∂ xj ∂ yjDo đó ∆ u ( x ) = j = 1 ∂ 2 u ( x ) = ∂ x2jj = 1 ∂ 2 u ( y ) = 0, ∂ yj2 ∀ x ∈ Rn. Vậy u ( x + h ) là hàm điều hòa trong Rn. ( ii ) Đặt y = λx thìyj = λxj, ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }. Ta có ∂ u ∂ u ∂ yj ∂ u ( x ) = ( y ) ( x ) = λ ( y ), ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }, ∂ xj ∂ yj ∂ xj ∂ yj ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ yj2 ∂ u ( x ) = λ 2 ( y ) ( x ) = λ ( y ), ∀ j ∈ { 1, 2 ,. .., n }. ∂ x2j ∂ yj ∂ xj ∂ yj2Khóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆUDo đó ∆ u ( x ) = j = 1 ∂ 2 u ( x ) = λ2 ∂ xjj = 1 ∂ 2 u ( y ) = 0, ∂ yj2 ∀ x ∈ Rn. Vậy u ( λx ) là hàm điều hòa trong Rn. ( iii ) Đặt y = Cx thìyi = cij xj, ∀ i ∈ { 1, 2 ,. .., n }. j = 1T a có ∂ u ( x ) = ∂ xk ∂ u ( x ) = ∂ x2ki = 1 ∂ u ∂ yi ( y ) ( x ) = ∂ yi ∂ xkciki = 1 ∂ u ( y ), ∂ yi ∀ k ∈ { 1, 2 ,. .., n }, cik cmki = 1 m = 1 ∂ u ( y ), ∂ yi ∂ ym ∀ k ∈ { 1, 2 ,. .., n }. Vì C là ma trận trực giao nên ta cócik cmk = δim, k = 1 trong đóδim = 1, nếu i = m, 0, nếu i = m. Suy raKhóa luận tốt nghiệp Đại học ∆ u ( x ) = k = 1B ÙI BÁ THIỆU ∂ 2 u ( x ) = ∂ x2kk = 1 i = 1 cik cmki = 1 m = 1 k = 1 δimi = 1 m = 1 i = 1 ∂ 2 ucik cmk ( y ) ∂ y ∂ ym = 1 ∂ u ( y ) ∂ yi ∂ ym ∂ 2 u ( y ) ∂ yi ∂ ym ∂ u ( y ) = 0, ∂ yi2 ∀ x ∈ Rn. Vậy u ( Cx ) là hàm điều hòa trong Rn. 1.3 Phép đổi khác KelvinĐể thuận tiện cho việc nghiên cứu và điều tra hàm điều hòa trên tập mở khôngbị chặn ta thường thêm điểm ∞ vào Rn. Tôpô trên Rn ∪ { ∞ } đượcxây dựng một cách tự nhiên như sau. Tập ω ⊂ Rn ∪ { ∞ } là tậpmở nếu nó là tập con mở của Rn theo nghĩa thường thì hoặc nếuω = { ∞ } ∪ ( Rn A ), trong đó A là tập compact của Rn. Không giantôpô thu được là compact và được gọi là sự compact hóa một điểmcủa Rn. Qua phép chiếu nổi thường thì, Rn ∪ { ∞ } đồng phôi vớimặt cầu đơn vị chức năng trong Rn + 1. Ánh xạ x → x ∗, trong đóx / | x | 2, nếu x = { 0, ∞ }, x = 0, nếu x = ∞, ∞, nếu x = 0, Khóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆUđược gọi là phép nghịch đảo của Rn ∪ { ∞ } qua mặt cầu đơn vị chức năng. Chú ý rằng nếu x ∈ / { 0, ∞ } thì x ∗ nằm trên tia từ gốc tới x, với | x ∗ | = 1 / | x |. Ta hoàn toàn có thể thử lại rằng phép nghich hòn đảo qua mặt cầu là liên tục, lànghịch hòn đảo của chính nó, biến một lân cận của ∞ thành một lân cậncủa 0. Với A ⊂ Rn ∪ { ∞ } bất kể, ta định nghĩa A ∗ = { x ∗ | x ∈ A }. Định nghĩa 1.2. Cho hàm u xác lập trên tập A ⊂ Rn { 0 }, phépbiến đổi Kelvin của u là hàm K [ u ] trên A ∗ xác lập bởiK [ u ] ( x ) = | x | 2 − n u ( x ∗ ). Ta dễ thấy rằng K [ K [ u ] ] = u, với mọi hàm u như trên. Nói cáchkhác phép đổi khác Kelvin có biến hóa ngược là chính nó. Hơn nữa, phép biến hóa Kelvin có đặc thù tuyến tính, do tại nếu u, v là cáchàm trên A và a, b là hằng số thìK [ au + bv ] = aK [ u ] + bK [ v ]. Định lý 1.2. Nếu Ω ⊂ Rn { 0 }, u ∈ C 2 ( Ω ) thì u là hàm điều hòatrong Ω khi và chỉ khi K [ u ] là hàm điều hòa trong Ω ∗. Chứng minh. Với mọi x ∈ Ω ∗, ta cóKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU ∂ K [ u ] ∂ u ( x ) = ( 2 − n ) | x | − n xi u ( x ∗ ) + | x | − n ∗ ( x ∗ ) ∂ xi ∂ xi − n − 2 − 2 xi | x | xjj = 1 ∂ u ∗ ( x ), ∂ x ∗ jở đây x ∗ = ( x ∗ 1, x ∗ 2 ,. .., x ∗ n ) ∈ Ω. Đặtf ( x ) = ( 2 − n ) | x | − n xi u ( x ∗ ), g ( x ) = | x | − n ∂ u ∗ ( x ), ∂ x ∗ i − n − 2 h ( x ) = 2 xi | x | xjj = 1 ∂ u ∗ ( x ). ∂ x ∗ jTa có ∂ f ( x ) = ( 2 − n ) | x | − n u ( x ∗ ) − n ( 2 − n ) x2i | x | − n − 2 u ( x ∗ ) ∂ xi − n − 2 + ( 2 − n ) | x | ∂ u ∗ 2 ( 2 − n ) x2ixi ∗ ( x ) − ∂ xi | x | n + 4 xjj = 1 ∂ g ∂ u ∂ u ( x ) = − n | x | − n − 2 xi ∗ ( x ∗ ) + | x | − n − 2 ∗ 2 ( x ∗ ) ∂ xi ∂ xi ∂ xi − n − 4 − 2 xi | x | ∂ 2 uxj ∗ ∗ ( x ∗ ), ∂ xi ∂ xjj = 110 ∂ u ∗ ( x ), ∂ x ∗ jKhóa luận tốt nghiệp Đại học ∂ h ( x ) = 2 | x | − n − 2 ∂ xiBÙI BÁ THIỆUxjj = 1 ∂ u ∗ ( x ) ∂ x ∗ j − 2 ( n + 2 ) x2i | x | − n − 4 xjj = 1 − n − 2 + 2 | x | ∂ u ∗ ( x ) ∂ x ∗ j ∂ uxi ∗ ( x ∗ ) + 2 | x | − n − 4 ∂ xi − n − 6×2 i xj xk − 4 | x | j = 1 k = 1 j = 1 ∂ 2 uxi xj ∗ ∗ ( x ∗ ) ∂ xi ∂ xj ∂ 2 u ( x ∗ ). ∂ xj ∂ xkDo đó ∆ K [ u ] ( x ) = i = 1 ∂ 2 K [ u ] ( x ) = ∂ x2i = | x | − n − 2 i = 1 i = 1 ∂ f ∂ g ∂ h ( x ) + ( x ) − ( x ) ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ u ∗ ( x ) = | x | − n − 2 ∆ u ( x ∗ ). ∗ 2 ∂ xiTừ đó, ta thấy ∆ u = 0 trong Ω khi và chỉ khi ∆ K [ u ] = 0 trong Ω ∗. Vậy u là hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi K [ u ] là hàm điềuhòa trong Ω ∗. 11C hương 2M ột số đặc thù của hàm điều hòaTrong chương này ta trình diễn những đặc thù của hàm điều hòa. Trước hết, ta nhắc lại những công thức tích phân cơ bản. Các công thức tích phân cơ bảnTrong mục này, ta giả thiết rằng Ω là một tập bị chặn trong Rn, ∂ Ω đủ trơn. Định lý 2.1 ( Công thức Gauss-Ostrogradsky ). Cho u1, u2 ,. .., un làcác hàm thuộc C Ω ∩ C 1 ( Ω ). Khi đój = 1 ∂ ujdx = ∂ xjuj µj dS. ∂ Ω j = 1 Định lý 2.2 ( Công thức tích phân từng phần ). Cho u, v là những hàmthuộc C Ω ∩ C 1 ( Ω ). Khi đó12Khóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆU ∂ uvdx = ∂ xjuvµj dS − ∂ vdx. ∂ xj ∂ ΩChứng minh. Áp dụng công thức Gauss-Ostrogradsky, ta có ∂ ( uv ) dx = ∂ xjuvµj dS. ∂ ΩSuy ra ∂ uvdx + ∂ xj ∂ vdx = ∂ xjuvµj dS. ∂ ΩDo đó ∂ uvdx = ∂ xjuvµj dS − ∂ vdx. ∂ xj ∂ ΩVậy định lý được chứng tỏ. Định lý 2.3 ( Công thức Green thứ nhất ). Cho u, v là những hàm thuộcC 1 Ω ∩ C 2 ( Ω ). Khi đó ∂ uv dS − ∂ µv ∆ udx = ∇ u · ∇ vdx. ∂ ΩChứng minh. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta đượcv ∆ udx = j = 1 Ω ∂ Ω ∂ 2 udx = ∂ x2j ∂ uv dS − ∂ µj = 1 ∂ Ω ∇ u · ∇ vdx. 13 ∂ uµj dS − ∂ xj ∂ u ∂ v dx ∂ xj ∂ xjKhóa luận tốt nghiệp Đại họcBÙI BÁ THIỆUVậy định lý được chứng tỏ. Định lý 2.4 ( Công thức Green thứ hai ). Cho u, v là những hàm thuộcC 1 Ω ∩ C 2 ( Ω ). Khi đó ( v ∆ u − u ∆ v ) dx = ∂ u ∂ v − udS. ∂ µ ∂ µ ∂ ΩChứng minh. Áp dụng công thức Green thứ nhất ta đượcv ∆ udx = ∂ Ωu ∆ vdx = ∂ uv dS − ∂ µ ∇ u · ∇ vdx, ∂ vu dS − ∂ µ ∇ u · ∇ vdx. ∂ ΩDo đó ( v ∆ u − u ∆ v ) dx = v ∆ udx − ✂ Ωu ∆ vdx ∂ uv dS − ∂ µ ∂ Ω ∂ Ω ∂ vu dS = ∂ µ ∂ u ∂ v − udS. ∂ µ ∂ µ ∂ ΩVậy định lý được chứng tỏ. Bây giờ, ta sẽ đưa ra một số ít đặc thù của hàm điều hòa. 14K hóa luận tốt nghiệp Đại học2. 12.1.1 BÙI BÁ THIỆUCác đặc thù cơ bản của hàm điều hòaĐịnh lý giá trị trung bìnhĐịnh lý 2.5. Giả sử u ∈ C 2 ( Ω ) là hàm điều hòa trong Ω. Khi đó, vớimọi B ( ξ, R ) ⊂ Ω, ta có những đẳng thức sauu ( ξ ) = nωn Rn − 1 u ( ξ ) = udS, ✂ ∂ B ( ξ, R ) ωn R nu ( x ) dx. B ( ξ, R ) Chứng minh. Với ρ ∈ ( 0, R ]. Áp dụng công thức Green thứ nhất tanhận được ∂ udS = ∂ υ ∂ B ( ξ, ρ ) ∆ u ( x ) dx = 0, B ( ξ, ρ ) trong đó υ là vectơ đơn vị chức năng pháp tuyến ngoài so với ∂ B ( ξ, ρ ). x − ξMặt khác, đặt ω = và màn biểu diễn u ( x ) = u ( ξ + ρω ), ta có ∂ B ( ξ, ρ ) ∂ udS = ρn − 1 ∂ υ ∂ u ( ξ + ρω ) dS ( ω ) ∂ υ ∂ B ( 0,1 ) = ρn − 1 d u ( ξ + ρω ) dS ( ω ) dρ ∂ B ( 0,1 ) d = ρn − 1 dρρ1 − n udS . ∂ B ( ξ, ρ ) Từ đó ta được15Khóa luận tốt nghiệp Đại họcd dρBÙI BÁ THIỆUρ1 − n udS = 0, ∀ ρ ∈ ( 0, R ]. ∂ B ( ξ, ρ ) Suy raρ1 − n udS = R1 − n ∂ B ( ξ, ρ ) udS. ∂ B ( ξ, R ) Lại cóρ1 − n udS = nωn ρn − 1 ρ1 − n u ( xρ ) = nωn u ( xρ ), ∂ B ( ξ, ρ ) trong đó xρ ∈ ∂ B ( ξ, ρ ). Do đónωn u ( xρ ) = R1 − nudS. ∂ B ( ξ, R ) Cho ρ → 0 ta đượcu ( ξ ) = nωn Rn − 1 udS. ∂ B ( ξ, R ) Ta có16
