Hàm số không đổi khác bất thần trong giá trị
Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của
f
{displaystyle f}
x
{displaystyle x}
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra tiên phong bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần tiên phong định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng sáng tạo từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854 .
Một ví dụ đơn giản, hàm số H(t) thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian t có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số M(t) chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian t là không liên tục, vì nó sẽ “nhảy” mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập tiên phong bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục bắt đầu tương quan đến số lượng giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của f { displaystyle f } như sau : Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x { displaystyle x } luôn luôn là một sự đổi khác tăng vô cùng nhỏ của f ( x ) { displaystyle f ( x ) }. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của tất cả chúng ta sử dụng thời nay .Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra tiên phong bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần tiên phong định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những sáng tạo độc đáo từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854 .
Hàm số thực[sửa|sửa mã nguồn]
f ( x ) = 1 x { displaystyle f ( x ) = { tfrac { 1 } { x } } }
Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số f theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.
Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:
- Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số
f(x) = tan(x)
liên tục trên tập xác định là tất cả số thực
x ≠ (2n+1)π/2
,
n
số nguyên bất kỳ.
- Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số
g(x) =
√
x
, với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại
x = 0
. Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức g có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
- Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.
Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên .
Đặt f: D ⟶ R là hàm số định nghĩa trên một tập con D của tập số thực R. Tập con D này là tập xác định của f. Một số khả năng cho D bao gồm:
- D = R { displaystyle D = mathbf { R } quad }
D là toàn bộ tập số thực), hoặc với các số thực a, b,
- D = [ a, b ] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b } { displaystyle D = [ a, b ] = { x in mathbf { R } , | , a leq x leq b } quad }
D là một khoảng đóng), hay
-
D
=
(
a
,
b
)
=
{
x
∈R
|
a
D là một khoảng mở).
<img alt="{displaystyle D=(a,b)={xin mathbf {R} ,|,a<x
Trong trường hợp D là một khoảng mở, a và b không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị f(a) và f(b) không ảnh hưởng đến tính liên tục của f trên D.
Định nghĩa liên tục theo số lượng giới hạn của hàm[sửa|sửa mã nguồn]
Hàm
f
{displaystyle f}
gọi là liên tục tại điểm
c
{displaystyle c}
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
khi
x
{displaystyle x}
tiến dần về
c
{displaystyle c}
tồn tại và bằng giá trị của
f
(
c
)
{displaystyle f(c)}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
f
(
c
)
{displaystyle {underset {xrightarrow c}{lim }}f(x)=f(c)}
hay chính là 3 điều kiện kèm theo sau : 1 là f { displaystyle f } xác lập tại c { displaystyle c }, 2 là số lượng giới hạn bên vế trái là sống sót, thứ 3 là giá trị của số lượng giới hạn phải bằng f ( c ) { displaystyle f ( c ) } .Hàm f { displaystyle f } là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác lập .
Định nghĩa theo số lượng giới hạn của dãy[sửa|sửa mã nguồn]
Cho dãy
(
x
n
)
n
∈
N
{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}
c
{displaystyle c}
, thì tương ứng dãy
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{displaystyle (f(x_{n}))_{nin mathbb {N} }}
f
(
c
)
{displaystyle f(c)}
Biểu diễn liên tục theo epsilon – delta
f ( x ) = 2 x − 1 x + 2 { displaystyle f ( x ) = { frac { 2 x – 1 } { x + 2 } } }
Định nghĩa liên tục theo epsilon – delta[sửa|sửa mã nguồn]
Cho số thực bất kỳ
ε
>
0
{displaystyle varepsilon >0}
0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12″/>, tồn tại số thực
δ
>
0
{displaystyle delta >0}
0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9″/> sao cho với mọi
x
{displaystyle x}
trong miền xác định của
f
{displaystyle f}
với
c
−
δ
, giá trị của
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
thỏa
Liên tục của
f
:
I
→
R
{displaystyle f,:,Irightarrow mathbb {R} }
c
{displaystyle c}
là với mọi
ε
>
0
{displaystyle varepsilon >0}
, tồn tại
δ
>
0
{displaystyle delta >0}
sao cho với mọi
x
∈
I
{displaystyle xin I}
|
x
−
c
|
sign ( x ) { displaystyle operatorname { sign } ( x ) }
Hàm
f
(
x
)
=
2
x
−
1
x
+
2
{displaystyle f(x)={frac {2x-1}{x+2}}}
liên tục trên miền xác định
R
∖
{
−
2
}
{displaystyle mathbb {Rbackslash } {-2}}
Phản ví dụ[sửa|sửa mã nguồn]
sgn
(
x
)
=
{
1
,
x
>
0
0
,
x
=
0
−
1
,
x
0\0,x=0\-1,x0\0,x=0\-1,x
Ví dụ về hàm không liên tục với
ε
=
1
2
{displaystyle varepsilon ={frac {1}{2}}}
y
≠
0
{displaystyle yneq 0}
δ
>
0
:
|
y
−
0
|
=
|
y
|
0,:,vert y-0vert =vert yvert 0,:,vert y-0vert =vert yvert sao cho
|
f
(
y
)
−
f
(
0
)
|
= vì
|
f
(
y
)
−
f
(
0
)
|
=
1
∀
y
≠
0
{displaystyle vert f(y)-f(0)vert =1,forall yneq 0}
Định lý giá trị trung bình[sửa|sửa mã nguồn]
Cho
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{displaystyle f,:,[a,b]rightarrow mathbb {R} }
![{displaystyle f,:,[a,b]rightarrow mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2356fd9d9bd6064f37b5c8a1caafe83a72b5eea2)
s
{displaystyle s}
f
(
a
)
{displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{displaystyle f(b)}
c
∈
[
a
,
b
]
{displaystyle cin [a,,b]}
![{displaystyle cin [a,,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abed197596791dd5f201e739bb34aa4e630ce8c3)
f
(
c
)
=
s
{displaystyle f(c)=s}
Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1 m đến 1.5 m, khi đó sẽ có 1 thời gian nào đó trong khoảng chừng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2 m
Định lý giá trị cực biên[sửa|sửa mã nguồn]
Cho khoảng
[
a
,
b
]
{displaystyle [a,,b]}
![{displaystyle [a,,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6403d6efced230f17c4b47aaf58879b629b048f)
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow mathbb {R} }
![{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3c20e6af648c94992a0e3f0507dbdf26fce00b)
f
{displaystyle f}
có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
[
a
,
b
]
{displaystyle [a,,b]}
, hay tồn tại
c
,
d
∈
[
a
,
b
]
{displaystyle c,,din [a,,b]}
![{displaystyle c,,din [a,,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab2f32be2d9ba88e8b4d1ba7872dc8fafcabf28)
f
(
c
)
≤
f
(
x
)
≤
f
(
d
)
{displaystyle f(c)leq f(x)leq f(d)}
x
∈
X
{displaystyle xin X}
Định lý điểm cố định và thắt chặt[sửa|sửa mã nguồn]
Cho
a
,
f
:
[
a
,
b
]
→
[
a
,
b
]
{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow [a,,b]}
![{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow [a,,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73f31a7fe062fd3a4f76b68b1a1115e2cb8807b)
c
∈
[
a
,
b
]
{displaystyle cin [a,,b]}
sao cho
f
(
c
)
=
c
{displaystyle f(c)=c}
;,a,,bin>
Mọi hàm
f
:
(
a
,
b
)
→
R
{displaystyle f,:,(a,b)rightarrow mathbb {R} }
Ví dụ hàm trị tuyệt đối
f
(
x
)
=
|
x
|
=
{
x
,
x
≥
0
R
{displaystyle mathbb {R} }
nhưng không khả vi tại 0.
Đạo hàm
f
′
(
x
)
{displaystyle f^{‘}(x)}
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm
C
1
(
a
,
b
)
{displaystyle C^{1}(a,b)}
Xét tập những hàm
f
:
Ω
→
R
{displaystyle f,:,Omega rightarrow mathbb {R} }
Trong đó
Ω
{displaystyle Omega }
R
{displaystyle mathbb {R} }
sao cho hàm
f
{displaystyle f}
khả vi liên tục đến bậc
k
{displaystyle k}
Tập các hàm này là không gian
C
k
(
Ω
)
{displaystyle C^{k}(Omega )}
Mọi hàmf : [ a, b ] → R { displaystyle f , : , [ a, , b ] rightarrow mathbb { R } }đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm sign ( x ) { displaystyle operatorname { sign } ( x ) }
sin ( x ) { displaystyle sin ( x ) }
Liên tục đều[sửa|sửa mã nguồn]
Giả sử Ω { displaystyle Omega } là tập con của R { displaystyle mathbb { R } } khi đóf : Ω → R { displaystyle f , : , Omega rightarrow mathbb { R } }
liên tục đều trên
Ω
{displaystyle Omega }
nếu với mọi
ϵ
>
0
{displaystyle epsilon >0}
0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71″/> cho trước tồn tại
δ
>
0
{displaystyle delta >0}
chỉ phụ thuộc vào
ϵ
{displaystyle epsilon }
sao cho
|
x
−
x
′
|
,
∀
x
,
x
′
∈
Ω
{displaystyle forall x,,x^{‘}in Omega }
|
f
(
x
)
−
f
(
x
′
)
|
Ví dụ như hàm
y
=
sin
(
x
)
{displaystyle y=sin(x)}
y
=
x
{displaystyle y=x}
Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục
Cho dãy
(
f
n
)
n
∈
N
:
I
→
R
{displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} },:,Irightarrow mathbb {R} }
những hàm liên tục sao cho
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
{displaystyle f(x)=lim _{nrightarrow infty }f_{n}(x)}
tồn tại với mọi
x
∈
I
{displaystyle xin I}
, khi đó hàm
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
là giới hạn từng điểm của hãy
(
f
n
)
n
∈
N
{displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}
f
{displaystyle f}
không nhất thiết liên tục cho dù
f
n
{displaystyle f_{n}}
Tuy nhiên nếu f { displaystyle f } liên tục, khi đó dãy ( f n ) n ∈ N { displaystyle ( f_ { n } ) _ { n in mathbb { N } } } quy tụ đều
[2]Hàm không liên tục mọi nơi[sửa|sửa mã nguồn]
Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định.
Hàm Dirichlet
Cho
c
{displaystyle c}
và
d
{displaystyle d}
c
=
1
{displaystyle c=1}
d
=
0
{displaystyle d=0}
-
- D ( x ) = { c, x ∈ Q. d, x ∉ Q { displaystyle D ( x ) = { begin { cases } c, x in mathbb { Q } d, x notin mathbb { Q } end { cases } } }
- D ( x ) = { c, x ∈ Q. d, x ∉ Q { displaystyle D ( x ) = { begin { cases } c, x in mathbb { Q } d, x notin mathbb { Q } end { cases } } }
là không liên tục mọi nơi, hàm hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành
D
(
x
)
=
lim
m
→
∞
lim
n
→
∞
cos
2
n
(
m
!
π
x
)
{displaystyle D(x)={underset {mrightarrow infty }{lim }}{underset {nrightarrow infty }{lim }}cos ^{2n}(m!pi x)}
Nếu
E
{displaystyle E}
X
{displaystyle X}
E
{displaystyle E}
và phần bù của
E
{displaystyle E}
trù mật trong
X
{displaystyle X}
sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[3]
Liên tục trên khoảng trống mê tric với định nghĩa :
Cho
(
X
,
d
1
)
{displaystyle (X,d_{1})}
(
Y
,
d
2
)
{displaystyle (Y,d_{2})}
Ánh xạ
f
:
(
X
,
d
1
)
→
(
Y
,
d
2
)
{displaystyle f,,:,(X,d_{1}),rightarrow ,(Y,d_{2})}
x
∈
X
{displaystyle xin X}
nếu
∀
ε
>
0
,
∃
σ
>
0
,
d
1
(
x
,
y
)
0,,exists sigma >0,,d_{1}(x,y),0,,exists sigma >0,,d_{1}(x,y),
hay với mọi
B
(
f
(
x
)
,
ε
)
{displaystyle B(f(x),varepsilon )}
f
(
x
)
{displaystyle f(x)}
khi đó
∃
B
(
x
,
σ
)
{displaystyle exists B(x,sigma )}
x
{displaystyle x}
sao cho
f
(
B
(
x
,
σ
)
)
⊂
B
(
f
(
x
)
,
ε
)
{displaystyle f(B(x,sigma ))subset B(f(x),varepsilon )}
Cho hai không gian mêtric
(
X
,
d
X
)
{displaystyle (X,d_{X})}
(
Y
,
d
Y
)
{displaystyle (Y,d_{Y})}
d
X
{displaystyle d_{X}}
X
{displaystyle X}
và
d
Y
{displaystyle d_{Y}}
Y
{displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{displaystyle f,:,Xrightarrow Y}
K
≥
0
{displaystyle Kgeq 0}
x
1
,
x
2
∈
X
{displaystyle x_{1},,x_{2}in X}
d
Y
(
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
)
≤
K
d
X
(
x
1
,
x
2
)
{displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),,f(x_{2}))leq K,d_{X}(x_{1},,x_{2})}
Hàm
f
(
x
)
=
x
2
+
5
{displaystyle f(x)={sqrt {x^{2}}}+5}
K
=
1
{displaystyle K=1}
Cho hai không gian mêtric
(
X
,
d
X
)
{displaystyle (X,d_{X})}
và
(
Y
,
d
Y
)
{displaystyle (Y,d_{Y})}
với
d
X
{displaystyle d_{X}}
là mêtric trên
X
{displaystyle X}
và
d
Y
{displaystyle d_{Y}}
là mêtric trên
Y
{displaystyle Y}
, với
α
{displaystyle alpha }
f
:
X
→
Y
{displaystyle f,:,Xrightarrow Y}
là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số
K
≥
0
{displaystyle Kgeq 0}
sao cho với mọi
x
1
,
x
2
∈
X
{displaystyle x_{1},,x_{2}in X}
d
Y
(
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
)
≤
K
(
d
X
(
x
1
,
x
2
)
)
α
{displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),,f(x_{2}))leq K(,d_{X}(x_{1},,x_{2}))^{alpha }}
f
(
x
)
=
x
{displaystyle f(x)={sqrt {x}}}
α
≤
1
2
{displaystyle alpha leq {frac {1}{2}}}
Cho X { displaystyle X } và Y { displaystyle Y } là hai khoảng trống mêtric, f { displaystyle f } là hàm từ X { displaystyle X } vào Y { displaystyle Y } .
Hàm
f
{displaystyle f}
là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
)
{displaystyle (x_{1},x_{2},…)}
X
{displaystyle X}
, dãy
(
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
,
.
.
.
)
{displaystyle (f(x_{1}),,f(x_{2}),,…)}
Y
{displaystyle Y}
.
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu X { displaystyle X } là khoảng trống vừa đủ, thì mọi hàm liên tục trên X { displaystyle X } là liên tục Cauchy .
Trên đường thẳng thực R { displaystyle mathbb { R } } liên tục cũng chính là liên tục Cauchy .
Hàm
f
(
x
)
=
0
{displaystyle f(x)=0}
x
2
và
f
(
x
)
=
1
{displaystyle f(x)=1}
x
2
>
2
{displaystyle x^{2}>2}
2}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6cc907b580c4c21ac8828557410b5211e2ddda”/> với mọi số hữu tỉ
x
{displaystyle x}
. Hàm này liên tục trên
Q
{displaystyle mathbb {Q} }
nhưng không liên tục Cauchy
Nghiên cứu về khoảng trống Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa những khoảng trống tô pô với nhau và giữa những khoảng trống con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một khoảng trống tô pô vào khoảng trống tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của khoảng trống tô pô, được miêu tả trực quan tính sinh động trong khoảng trống hình học .
U là lân cận của x trong XÁnh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm xU là lân cận của x trong X
- Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [7] của tập mở là tập mở. Hay f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }V { displaystyle V }Y { displaystyle Y }f − 1 ( V ) { displaystyle f ^ { – 1 } ( V ) }
X
{displaystyle X}
-
- Chứng minh
-
- (⇒ { displaystyle Rightarrow }
f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }U { displaystyle U }Y { displaystyle Y }x ∈ f − 1 ( U ) { displaystyle x in f ^ { – 1 } ( U ) }
f { displaystyle f }x { displaystyle x }U { displaystyle U }f ( x ) { displaystyle f ( x ) }V x { displaystyle V_ { x } }
x { displaystyle x }V x { displaystyle V_ { x } }f − 1 ( U ) { displaystyle f ^ { – 1 } ( U ) }
f − 1 ( U ) = ∪ x ∈ f − 1 ( U ) V x { displaystyle f ^ { – 1 } ( U ) = cup _ { x in f ^ { – 1 } ( U ) } V_ { x } }
- (⇒ { displaystyle Rightarrow }
-
- (⇐ { displaystyle Leftarrow }
x ∈ X { displaystyle x in X }U { displaystyle U }f ( x ) { displaystyle f ( x ) }V = f − 1 ( U ) { displaystyle V = f ^ { – 1 } ( U ) }
x { displaystyle x }f ( V ) { displaystyle f ( V ) }
U { displaystyle U }f { displaystyle f }x { displaystyle x }
- (⇐ { displaystyle Leftarrow }
[8]Một số đặc thù và mệnh đề[sửa|sửa mã nguồn]
- Cho f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }X { displaystyle X }compact thì f ( X ) { displaystyle f ( X ) }
compact.
- Cho X { displaystyle X }f : X → R { displaystyle f , : , X rightarrow mathbb { R } }
f { displaystyle f }giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên X { displaystyle X }a, b ∈ X { displaystyle a, , b in X }
f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) { displaystyle f ( a ) leq f ( x ) leq f ( b ) }
x ∈ X { displaystyle x in X }
- Cho [ a, b ] { displaystyle [ a, , b ] }khoảng đóng và bị chặn trong R { displaystyle mathbb { R } }f : [ a, b ] → R { displaystyle f , : , [ a, , b ] rightarrow mathbb { R } }ảnh của f { displaystyle f }bị chặn trong R { displaystyle mathbb { R } }
f, g, h { displaystyle f, g, h }
Ví dụ 2 : Ánh xạ liên tục trên cơ sở
-
- Ví dụ 1: Cho X = { a, b, c, d } { displaystyle X = { a, b, c, d } }
Y = { 1, 2, 3 } { displaystyle Y = { 1,2,3 } }
f, g, h : X → Y { displaystyle f, g, h , : , X , rightarrow Y }
- Ví dụ 1: Cho X = { a, b, c, d } { displaystyle X = { a, b, c, d } }
-
- f ( a ) = 1, f ( b ) = 1, f ( c ) = 2, f ( d ) = 2 { displaystyle f ( a ) = 1, , f ( b ) = 1, , f ( c ) = 2, , f ( d ) = 2 }
- f ( a ) = 1, f ( b ) = 1, f ( c ) = 2, f ( d ) = 2 { displaystyle f ( a ) = 1, , f ( b ) = 1, , f ( c ) = 2, , f ( d ) = 2 }
-
- g ( a ) = 2, g ( b ) = 2, g ( c ) = 1, g ( d ) = 3 { displaystyle g ( a ) = 2, , g ( b ) = 2, , g ( c ) = 1, , g ( d ) = 3 }
- g ( a ) = 2, g ( b ) = 2, g ( c ) = 1, g ( d ) = 3 { displaystyle g ( a ) = 2, , g ( b ) = 2, , g ( c ) = 1, , g ( d ) = 3 }
-
- h ( a ) = 1, h ( b ) = 2, h ( c ) = 2, h ( d ) = 3 { displaystyle h ( a ) = 1, , h ( b ) = 2, , h ( c ) = 2, , h ( d ) = 3 }
- h ( a ) = 1, h ( b ) = 2, h ( c ) = 2, h ( d ) = 3 { displaystyle h ( a ) = 1, , h ( b ) = 2, , h ( c ) = 2, , h ( d ) = 3 }
-
- Có f, g { displaystyle f, g }
h { displaystyle h }
- Có f, g { displaystyle f, g }
-
- Ví dụ 2: Xét ( a, b ) { displaystyle ( a, b ) }
a
a, b ∈ R { displaystyle a, b in mathbb { R } }
<img alt="{displaystyle a}>B = { ( x, b ) | x ∈ ( a, b ) } { displaystyle mathbb { B } = { ( x, b ) | x in ( a, b ) } }
B ′ = { ( a, y ) | y ∈ ( a, b ) } { displaystyle mathbb { B } ^ { ‘ } = { ( a, y ) | y in ( a, b ) } }
- Ví dụ 2: Xét ( a, b ) { displaystyle ( a, b ) }
-
- f : z → b − z + a { displaystyle f , : , z rightarrow b-z+a }
z ∈ ( a, x ), x ∈ ( a, b ) { displaystyle z in ( a, x ), x in ( a, b ) }
B ′ { displaystyle mathbb { B } ^ { ‘ } }
B { displaystyle mathbb { B } }
ánh xạ ngược của ánh xạ
- f : z → b − z + a { displaystyle f , : , z rightarrow b-z+a }
-
- g : z ′ → b − z ′ + a { displaystyle g , : , z ^ { ‘ } rightarrow b-z ^ { ‘ } + a }
z ′ ∈ ( x, b ), x ∈ ( a, b ) { displaystyle z ^ { ‘ } in ( x, b ), x in ( a, b ) }
- g : z ′ → b − z ′ + a { displaystyle g , : , z ^ { ‘ } rightarrow b-z ^ { ‘ } + a }
-
- Ánh xạ g { displaystyle g }
- Ánh xạ g { displaystyle g }
Bổ đề dán ( The Pasting Lemma )[sửa|sửa mã nguồn]
-
- Cho X { displaystyle X }A, B { displaystyle A, B }
X { displaystyle X }A ∪ B = X { displaystyle A cup B = X }
f : A → Y { displaystyle f , , : , A , rightarrow , Y }
g : Y → Y { displaystyle g , , : , Y , rightarrow , Y }
f ( x ) = g ( x ) ∀ x ∈ A ∩ B { displaystyle f ( x ) = g ( x ) , , , forall x , in , A cap B }
h : X → Y { displaystyle h , , : , X , rightarrow , Y }
- Cho X { displaystyle X }A, B { displaystyle A, B }
-
- h ( x ) = { f ( x ), x ∈ A g ( x ), x ∈ B { displaystyle h ( x ) = { begin { cases } f ( x ), x in A g ( x ), x in B end { cases } } }
- h ( x ) = { f ( x ), x ∈ A g ( x ), x ∈ B { displaystyle h ( x ) = { begin { cases } f ( x ), x in A g ( x ), x in B end { cases } } }
thì h { displaystyle h } liên tục trên X { displaystyle X } .
-
- Cho X, Y { displaystyle X, Y }
f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }x { displaystyle x }n { displaystyle n }
X { displaystyle X }hội tụ về x { displaystyle x }f ∘ n { displaystyle f circ n }
f ( x ) { displaystyle f ( x ) }
- Cho X, Y { displaystyle X, Y }
-
- Viết theo ký hiệu quen thuộc: f { displaystyle f }x { displaystyle x }x i → x ⇒ f ( x i ) → f ( x ) { displaystyle x_ { i } rightarrow x , Rightarrow f ( x_ { i } ) , rightarrow , f ( x ) }
- Viết theo ký hiệu quen thuộc: f { displaystyle f }x { displaystyle x }x i → x ⇒ f ( x i ) → f ( x ) { displaystyle x_ { i } rightarrow x , Rightarrow f ( x_ { i } ) , rightarrow , f ( x ) }
∏
f
j
:
∏
X
j
→
∏
Y
j
{displaystyle prod f_{j},:,prod X_{j}rightarrow prod Y_{j}}
f
j
:
X
j
→
Y
j
{displaystyle f_{j},:,X_{j}rightarrow Y_{j}}
liên tục với mọi
j
{displaystyle j}
J
{displaystyle J}
-
- Cho hàm h : R → R { displaystyle h , : , mathbb { R } rightarrow mathbb { R } }
- Cho hàm h : R → R { displaystyle h , : , mathbb { R } rightarrow mathbb { R } }
-
- h ( x ) = | x | = { x, x ≥ 0 − x, x ≤ 0 { displaystyle h ( x ) = | x | = { begin { cases } x, x geq 0 – x, x leq 0 end { cases } } }
- h ( x ) = | x | = { x, x ≥ 0 − x, x ≤ 0 { displaystyle h ( x ) = | x | = { begin { cases } x, x geq 0 – x, x leq 0 end { cases } } }
Tô pô sinh bởi ánh xạ[sửa|sửa mã nguồn]
- Cho ( X, τ X ) { displaystyle ( X, tau _ { X } ) }
không gian tô pô, Y { displaystyle Y }f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }Y { displaystyle Y }f { displaystyle f }
-
- Yêu cầu của τ Y { displaystyle tau _ { Y } }
U ∈ τ Y { displaystyle U in tau _ { Y } }
f − 1 ( U ) ∈ τ X { displaystyle f ^ { – 1 } ( U ) in tau _ { X } }
- Yêu cầu của τ Y { displaystyle tau _ { Y } }
-
- Mặt khác, họ { U ⊂ Y | f − 1 ( U ) ∈ τ X } { displaystyle { U subset Y , | , , f ^ { – 1 } ( U ) in tau _ { X } } }
Y { displaystyle Y }tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.
- Mặt khác, họ { U ⊂ Y | f − 1 ( U ) ∈ τ X } { displaystyle { U subset Y , | , , f ^ { – 1 } ( U ) in tau _ { X } } }
- Cho X { displaystyle X }( Y, τ Y ) { displaystyle ( Y, tau _ { Y } ) }
không gian tô pô, và f : X → Y { displaystyle f , , : , X , rightarrow , Y }X { displaystyle X }f { displaystyle f }
-
- Yêu cầu của τ X { displaystyle tau _ { X } }
U ∈ τ Y { displaystyle U in tau _ { Y } }f − 1 ( U ) ∈ τ X { displaystyle f ^ { – 1 } ( U ) in tau _ { X } }
- Yêu cầu của τ X { displaystyle tau _ { X } }
-
- Tôpô rời rạc trên X { displaystyle X }
-
- Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ S Y { displaystyle S_ { Y } }
τ Y { displaystyle tau _ { Y } }τ X { displaystyle tau _ { X } }{ f − 1 ( U ) | U ∈ S Y } { displaystyle { f ^ { – 1 } ( U ) , | , , U in S_ { Y } } }
- Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ S Y { displaystyle S_ { Y } }
Ví dụ 2 : Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
- Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
- Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là X ≈ Y { displaystyle X approx Y }
Ví dụ 3 : Biến đổi đồng luân
- Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f { displaystyle f }g { displaystyle g }không gian tô pô X { displaystyle X }Y { displaystyle Y }H : X × [ 0, 1 ] → Y { displaystyle H : , X times [ 0,1 ] rightarrow Y }
X { displaystyle X }[ 0, 1 ] { displaystyle [ 0,1 ] }
Y { displaystyle Y }x { displaystyle x }X { displaystyle X }H ( x, 0 ) = f ( x ) { displaystyle H ( x, 0 ) = f ( x ) }
H ( x, 1 ) = g ( x ) { displaystyle H ( x, 1 ) = g ( x ) }
- Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H { displaystyle H }
H { displaystyle H }f { displaystyle f }g { displaystyle g }0 { displaystyle 0 }
f { displaystyle f }1 { displaystyle 1 }
g { displaystyle g }
- Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ X { displaystyle X }Y { displaystyle Y }f 1, g 1 : X → Y { displaystyle f_ { 1 }, , g_ { 1 } , : , X rightarrow Y }
f 2, g 2 : Y → Z { displaystyle f_ { 2 }, , g_ { 2 } , : , Y rightarrow Z }
f 2 ∘ f 1 { displaystyle f_ { 2 } circ f_ { 1 } }
g 2 ∘ g 1 { displaystyle g_ { 2 } circ g_ { 1 } }
Y → Z { displaystyle Y rightarrow Z }
-
- Ví dụ 1: Cho f : ( R, τ ) → ( R, Euclid ) { displaystyle f , : , ( mathbb { R }, tau ) rightarrow ( mathbb { R }, { text { Euclid } } ) }
- Ví dụ 1: Cho f : ( R, τ ) → ( R, Euclid ) { displaystyle f , : , ( mathbb { R }, tau ) rightarrow ( mathbb { R }, { text { Euclid } } ) }
-
- f : x → x 2 { displaystyle f , : , x rightarrow x ^ { 2 } }
- f : x → x 2 { displaystyle f , : , x rightarrow x ^ { 2 } }
-
- Ta thấy
τ
=
{
(
a
,
b
)|
a
,
b
∈R
}
{displaystyle tau ={(a,b)|a,bin mathbb {R} }}
f { displaystyle f }
- Ta thấy
-
- Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
-
- Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân
