Giai thừa – Wikipedia tiếng Việt

n

n!

0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5040

8

40

320

9

362880

10

3628800

15

1307674368000

20

2432902008176640000

25

15511210043×1025

50

30414093202×1064

70

11978571670×10100

100

93326215444×10157

171

12410180702×10309

450

17333687331×101000

1000

40238726008×102567

3249

64123376883×1010000

10000

28462596809×1035659

25206

12057034382×10100000

100000

28242294080×10456573

205023

25038989317×101000004

1000000

82639316883×105565708

10

248

383838×1098

10

10000000000×10100

10000000000×10100

10

99565705518×10101

17976931349×10308

10

55336665775×10310

Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương,”n giai thừa“, ký hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.

n! = 1.2.3….n

VD: 4! = 1.2.3.4 = 24

8! = 1.2.3…..7.8 = 40 320

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1.

Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp – xác suất

Định nghĩa đệ quy[sửa|sửa mã nguồn]

Ta hoàn toàn có thể định nghĩa đệ quy ( quy nạp ) n ! như sau

1. 0! = 1
2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Một số đặc thù của giai thừa[sửa|sửa mã nguồn]

1. Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (abc) có cùng cơ số và mũ.
2. log a ⁡ ( n ! ) = ∑ x = 1 n log a ⁡ ( x ). { displaystyle log _ { a } { ( n ! ) } = sum _ { x = 1 } ^ { n } log _ { a } ( x ). }
3. ∫ 1 n log ⁡ x d x ≤ ∑ x = 1 n log ⁡ x ≤ ∫ 0 n log ⁡ ( x + 1 ) d x { displaystyle int _ { 1 } ^ { n } log x , dx leq sum _ { x = 1 } ^ { n } log x leq int _ { 0 } ^ { n } log ( x + 1 ) , dx }
4. n log ⁡ ( n e ) + 1 ≤ log ⁡ n ! ≤ ( n + 1 ) log ⁡ ( n + 1 e ) + 1. { displaystyle n log left ( { frac { n } { e } } right ) + 1 leq log n ! leq ( n + 1 ) log left ( { frac { n + 1 } { e } } right ) + 1. }
5. e ( n e ) n ≤ n ! ≤ e ( n + 1 e ) n + 1. { displaystyle e left ( { frac { n } { e } } right ) ^ { n } leq n ! leq e left ( { frac { n + 1 } { e } } right ) ^ { n + 1 }. }
6. n ! ≈ 2 π n ( n e ) n. { displaystyle n ! approx { sqrt { 2 pi n } } left ( { frac { n } { e } } right ) ^ { n }. }Stirling).
7. n ! > 2 π n ( n e ) n. { displaystyle n ! > { sqrt { 2 pi n } } left ( { frac { n } { e } } right ) ^ { n }. } sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n.” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53011fa64b41d48e95a4b07643cdac86cb5daf03″/>
8. ln ⁡ ( n ! ) ≈ n ln ⁡ ( n ) − n + ln ⁡ ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + ln ⁡ ( π ) 2. { displaystyle ln ( n ! ) approx n ln ( n ) – n + { frac { ln ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) } { 6 } } + { frac { ln ( pi ) } { 2 } }. }

Đây là công thức ước đạt của Srinivasa Ramanujan .

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa|sửa mã nguồn]

• Công thức tính số tổ hợp:

C

n

k

=

n

!

k

!

(

n

−

k

)

!

(

0

<img alt="C_n^k = frac{n!}{k! (n-k)!}(0 leq>

• Công thức tính số chỉnh hợp:

A

n

k

=

n

!

(

n

−

k

)

!

(

0

<img alt="A_n^k = frac{n!}{(n-k)!}(0 leq>

Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa|sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0 ! = 1, còn những giai thừa của số âm không sống sót. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã xử lý xong .Một yếu tố được đặt ra : phải lan rộng ra giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào ?

Công thức Gamma[sửa|sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau :

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t { displaystyle Gamma ( z ) = int _ { 0 } ^ { infty } t ^ { z-1 } e ^ { – t } , { rm { d } } t }

Bằng giải pháp tích phân từng phần ta có được :

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ). { displaystyle Gamma ( z + 1 ) = z , Gamma ( z ) ,. }

Khi đó ta có :

z ! = Γ ( z + 1 ). { displaystyle z ! = Gamma ( z + 1 ). , }

Sau này Euler và Weierstrass đã biến hóa lại thành :

Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) { displaystyle Gamma ( z ) = lim _ { n to infty } { frac { n ^ { z } n ! } { prod _ { k = 0 } ^ { n } ( n + k ) } } }

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng tỏ, đó là :

Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ⁡ ( π z ) { displaystyle Gamma ( z ) Gamma ( 1 – z ) = { frac { pi } { sin ( { pi } z ) } } }

Thay z = 50% ta thu được :

Γ ( 1 2 ) = π { displaystyle Gamma left ( { frac { 1 } { 2 } } right ) = { sqrt { pi } } }

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là :

Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ). { displaystyle Gamma ( z ) ; Gamma left ( z + { frac { 1 } { m } } right ) ; Gamma left ( z + { frac { 2 } { m } } right ) cdots Gamma left ( z + { frac { m-1 } { m } } right ) = ( 2 pi ) ^ { ( m-1 ) / 2 } ; m ^ { 50% – mz } ; Gamma ( mz ) ,. }

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng tỏ :

Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] { displaystyle Gamma left ( { frac { 1 } { 2 } } + n right ) = { ( 2 n ) ! over 4 ^ { n } n ! } { sqrt { pi } } = { frac { ( 2 n – 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } } } , { sqrt { pi } } = { sqrt { pi } } cdot left [ { n – { frac { 1 } { 2 } } choose n } n ! right ] }

Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] { displaystyle Gamma left ( { frac { 1 } { 2 } } – n right ) = { ( – 4 ) ^ { n } n ! over ( 2 n ) ! } { sqrt { pi } } = { frac { ( – 2 ) ^ { n } } { ( 2 n – 1 ) ! ! } } , { sqrt { pi } } = { sqrt { pi } } / left [ { – { frac { 1 } { 2 } } choose n } n ! right ] }

Giai thừa với số thực[sửa|sửa mã nguồn]

Giai thừa với số thực .Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, những nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau :

z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ). { displaystyle z ! = Pi ( z ) = Gamma ( z + 1 ) ,. }

Như vậy :

( − 0, 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ). { displaystyle ( – 0,5 ) ! = Pi left ( – { frac { 1 } { 2 } } right ) = Gamma left ( { frac { 1 } { 2 } } right ) ,. }

( n − 0, 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ). { displaystyle ( n-0, 5 ) ! = Pi left ( n – { frac { 1 } { 2 } } right ) = Gamma left ( n + { frac { 1 } { 2 } } right ) ,. }

( − n − 0, 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ). { displaystyle ( – n-0, 5 ) ! = Pi left ( – n – { frac { 1 } { 2 } } right ) = Gamma left ( – n + { frac { 1 } { 2 } } right ) ,. }

Ví dụ :

Giai thừa với số phức[sửa|sửa mã nguồn]

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức .Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước đạt Laurent :

Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1, { displaystyle Gamma ( z ) = sum _ { k = 0 } ^ { infty } { frac { Gamma ^ { ( k ) } ( 1 ) } { k ! } } z ^ { k-1 } , , }

với | z | n { displaystyle n }

g n { displaystyle g_ { n } }

approximation

0

1 { displaystyle 1 }

1 { displaystyle 1 }

1

− γ { displaystyle – gamma }

− 0.5772156649 { displaystyle – 0.5772156649 }

2

π 2 12 + γ 2 2 { displaystyle { frac { pi ^ { 2 } } { 12 } } + { frac { gamma ^ { 2 } } { 2 } } }

0.9890559955 { displaystyle 0.9890559955 }

3

− ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 { displaystyle – { frac { zeta ( 3 ) } { 3 } } – { frac { pi ^ { 2 } gamma } { 12 } } – { frac { gamma ^ { 3 } } { 6 } } }

− 0.9074790760 { displaystyle – 0.9074790760 }

Ở đây

γ

{displaystyle gamma }

là hằng số Euler – Mascheroni còn

ζ

{displaystyle zeta }

là hàm zeta Riemann.

Các khái niệm tương tự như[sửa|sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)

[sửa|sửa mã nguồn]

Bài chi tiết cụ thể : Giai thừa nguyên tố

Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Giai thừa kép[sửa|sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n ! ! = { 1, khi n

Ví dụ :

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy những giai thừa kép tiên phong là :

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!!

1

1

2

3

8

15

48

105

384

945

3840

Định nghĩa trên hoàn toàn có thể lan rộng ra cho những số nguyên âm như sau :

( n − 2 ) ! ! = n ! ! n { displaystyle ( n-2 ) ! ! = { frac { n ! ! } { n } } }

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,…là

1, -1, 1/3, -1/15…

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác lập .Một vài đẳng thức với giai thừa kép :

n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! { displaystyle n ! = n ! ! ( n-1 ) ! ! , }

( 2 n ) ! ! = 2 n n ! { displaystyle ( 2 n ) ! ! = 2 ^ { n } n ! , }

( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! { displaystyle ( 2 n + 1 ) ! ! = { ( 2 n + 1 ) ! over ( 2 n ) ! ! } = { ( 2 n + 1 ) ! over 2 ^ { n } n ! } }

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội[sửa|sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)….

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n

!

(

k

)

=

{

1

,

khi 

0

≤

n

<img alt=" n!^{(k)}= left{ begin{matrix} 1,qquadqquad &&mbox{khi }0le n;\n(n-k)!^{(k)},&&{mbox{khi>

Siêu giai thừa(superfactorial)

[sửa|sửa mã nguồn]

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 { displaystyle mathrm { sf } ( 4 ) = 1 ! times 2 ! times 3 ! times 4 ! = 288 , }

Tổng quát

s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1. { displaystyle mathrm { sf } ( n ) = prod _ { k = 1 } ^ { n } k ! = prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { n-k+1 } = 1 ^ { n } cdot 2 ^ { n-1 } cdot 3 ^ { n-2 } cdots ( n-1 ) ^ { 2 } cdot n ^ { 1 }. }

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,… (dãy số A000178OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,…

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

m f ( n, m ) = m f ( n − 1, m ) m f ( n, m − 1 ) = ∏ k = 1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) { displaystyle mathrm { mf } ( n, m ) = mathrm { mf } ( n-1, m ) mathrm { mf } ( n, m-1 ) = prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { n-k+m-1 choose n-k } }

trong đó

m

f

(

n

,

0

)

=

n

{displaystyle mathrm {mf} (n,0)=n}

for

n

>

0

{displaystyle n>0}

0″ class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96″/> and

m
f

(
0
,
m
)
=
1

{displaystyle mathrm {mf} (0,m)=1}

.

Giai thừa trên[sửa|sửa mã nguồn]

x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! { displaystyle x ^ { overline { n } } = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) cdots ( x + n-1 ) = { frac { ( x + n-1 ) ! } { ( x-1 ) ! } } }

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]