Trong xác suất, định lý giới hạn trung tâm là định lý nổi tiếng và có vai trò quan trọng. Nó là kết quả về sự hội tụ yếu của một dãy các biến ngẫu nhiên. Với định lý này, ta có kết quả là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối đồng nhất theo cùng một phân phối xác suất, sẽ hội tụ về một biến ngẫu nhiên nào đó.
Trong trường hợp đơn thuần nhất, được dùng dưới đây trong phần chứng tỏ của định lý, những biến ngẫu nhiên là độc lập, có cùng kỳ vọng và phương sai. Một cách tổng quát, tổng của những biến ngẫu nhiên sẽ tăng vô định khi số biến ngẫu nhiên tăng. Do đó để có một hiệu quả hữu hạn, ta hạn chế sự tăng của tổng bằng cách lấy tổng trừ đi giá trị trung bình và rút gọn bằng cách chia cho căn bậc hai của phương sai. Với 1 số ít những điều kiện kèm theo nữa thì phân phối Xác Suất của biến ngẫu nhiên giản lược sẽ quy tụ về một phân phối chuẩn .
Sự hội tụ được đảm bảo trong trường hợp đơn giản này. Tuy nhiên cũng tồn tại sự hội tụ trong trường hợp các biến ngẫu nhiên không cùng phân phối, nhưng vẫn phải đảm bảo điều kiện không có biến ngẫu nhiên nào có phân phối trội hơn hoặc gây ảnh hưởng đến phân phối của các biến ngẫu nhiên khác. Điều này được đảm bảo bởi điều kiện Lindeberg và điều kiện Lyapunov. Một số phiên bản khác của định lý cũng cho phép sự phụ thuộc yếu giữa các biến ngẫu nhiên.
Ngoài ra còn có một số nghiên cứu khác của Gnedenko và Kolmogorov cho rằng tổng của các biến ngẫu nhiên với phân phối có đuôi giảm theo phân số 1/|x|α+1, 0
Bạn đang đọc: Định lý giới hạn trung tâm – Wikipedia tiếng Việt
Phần trình bày ở đây chỉ đề cập đến định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các phân phối có phương sai hữu hạn.
Định lý số lượng giới hạn TT[sửa|sửa mã nguồn]
Cho X1, X2… là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, có cùng phân phối D và độc lập lẫn nhau. Giả sử giá trị kỳ vọng
μ
{displaystyle mu }
σ
{displaystyle sigma }
σ
≠
0
{displaystyle sigma neq 0}
Xét tổng Sn = X1 + … + Xn.
Ta có Sn có kỳ vọng là nμ và độ lệch chuẩn σ n½. Khi đó, phân phối của Sn hội tụ về phân phối chuẩn N(nμ,σ2n) khi n tiến về vô cùng.
Để làm rõ hơn sự quy tụ này, ta đặt :
- Z n = S n − n μ σ n. { displaystyle Z_ { n } = { frac { S_ { n } – n mu } { sigma { sqrt { n } } } }. }
để có được kỳ vọng và độ lệch chuẩn của
Z
n
{displaystyle Z_{n}}
Nếu phân phối của Zn hội tụ về phân phối chuẩn N(0,1) khi n tiến về vô cùng (tức là hội tụ theo phân phối), thì cũng có nghĩa là: nếu Φ là hàm phân phối tích lũy của N(0,1), thì với mọi số thực z:
- lim n → ∞ P ( Z n ≤ z ) = Φ ( z ), { displaystyle lim _ { n to infty } { mbox { P } } ( Z_ { n } leq z ) = Phi ( z ), }
Hay một cách tương tự :
- lim n → ∞ P ( X ¯ n − μ σ / n ≤ z ) = Φ ( z ) { displaystyle lim _ { n to infty } { mbox { P } } left ( { frac { { overline { X } } _ { n } – mu } { sigma / { sqrt { n } } } } leq z right ) = Phi ( z ) }
trong đó
- X ¯ n = S n / n = ( X 1 + ⋯ + X n ) / n { displaystyle { overline { X } } _ { n } = S_ { n } / n = ( X_ { 1 } + cdots + X_ { n } ) / n }
Chứng minh định lý số lượng giới hạn TT[sửa|sửa mã nguồn]
Mặc dù đây là định lý quan trọng trong thống kê và Phần Trăm ứng dụng nhưng phần chứng tỏ của nó khá đơn thuần bằng cách sử dụng những hàm đặc trưng, nó gần giống với phần chứng tỏ của luật số lớn .
Ta có với mọi i,
Y
i
=
X
i
−
μ
σ
{displaystyle Y_{i}={frac {X_{i}-mu }{sigma }}}
- φ Y i ( t ) = 1 − t 2 2 + o ( t 2 ), t → 0. { displaystyle varphi _ { Y_ { i } } ( t ) = 1 – { t ^ { 2 } over 2 } + o ( t ^ { 2 } ), quad t rightarrow 0. }
Ta có :
- Z n = X ¯ n − μ σ / n = ∑ i = 1 n Y i n. { displaystyle Z_ { n } = { frac { { overline { X } } _ { n } – mu } { sigma / { sqrt { n } } } } = sum _ { i = 1 } ^ { n } { Y_ { i } over { sqrt { n } } }. }
Từ các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng, ta suy ra hàm đặc trưng của Zn là
- φ Z n ( t ) = [ φ Y i ( t n ) ] n = [ 1 − t 2 2 n + o ( t 2 n ) ] n → e − t 2 / 2 { displaystyle varphi _ { Z_ { n } } left ( t right ) = left [ varphi _ { Y_ { i } } left ( { t over { sqrt { n } } } right ) right ] ^ { n } = left [ 1 – { t ^ { 2 } over 2 n } + o left ( { t ^ { 2 } over n } right ) right ] ^ { n } , rightarrow , e ^ { – t ^ { 2 } / 2 } }
n → + ∞. { displaystyle n to + infty. }
Giới hạn này là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn N ( 0,1 ). Từ đó định lý số lượng giới hạn TT được chứng tỏ nhờ vào định lý về tính liên tục của Levy, trong đó có nói rằng, sự quy tụ của những hàm đặc trưng được cho phép suy ra sự quy tụ theo phân phối .
Nếu mômen bậc 3 E[(X – μ)3] tồn tại và hữu hạn, thì ta có hội tụ đều (uniform), và vận tốc hội tụ có bậc ít nhất là 1/n½ (xem định lý Berry-Esseen).
Trong những ứng dụng thực tiễn, định lý này được cho phép sửa chữa thay thế tổng vô cùng lớn nhưng hữu hạn những biến ngẫu nhiên bằng một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, như vầy sẽ thuận tiện thao tác, thống kê giám sát hơn .
Các suy rộng từ định lý[sửa|sửa mã nguồn]
Hàm phân phối Phần Trăm[sửa|sửa mã nguồn]
Hàm phân phối Tỷ Lệ của tổng nhiều biến ngẫu nhiên độc lập được xác lập bởi hàm xoắn ( convolution ) từ những hàm phân phối Phần Trăm của những biến ngẫu nhiên đó. Từ định lý số lượng giới hạn TT, ta hoàn toàn có thể suy ra, hàm xoắn này quy tụ về một hàm phân phối Phần Trăm chuẩn khi số biến ngẫu nhiên tăng vô hạn .
Tích những biến ngẫu nhiên[sửa|sửa mã nguồn]
Định lý số lượng giới hạn TT phát biểu cho tổng những biến ngẫu nhiên độc lập, câu hỏi là chuyện gì xảy ra với tích của những biến ngẫu nhiên độc lập ?Ta biết rằng, lôgarit ( log ) của tích những số hạng thì bằng tổng lôgarit những số hạng. Định lý số lượng giới hạn TT cho biết tổng lôgarit, và do đó lôgarit của tích, quy tụ về biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Từ đó suy ra tích những biến ngẫu nhiên quy tụ về một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn-lôgarit ( log-normal ) .
Các định lý số lượng giới hạn TT lan rộng ra[sửa|sửa mã nguồn]
Điều kiện Lyapunov[sửa|sửa mã nguồn]
Xét Xn là một dãy các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, không nhất thiết có cùng phân phối. Giả sử Xi có kỳ vọng hữu hạn μi và độ lệch chuẩn hữu hạn σi. Ta định nghĩa:
- s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2. { displaystyle s_ { n } ^ { 2 } = sum _ { i = 1 } ^ { n } sigma _ { i } ^ { 2 }. }
Giả sử những mômen bậc 3
- r i 3 = E ( | X i − μ i | 3 ) { displaystyle r_ { i } ^ { 3 } = { mbox { E } } left ( { left | X_ { i } – mu _ { i } right | } ^ { 3 } right ) }
là hữu hạn với mọi i và
- lim n → ∞ r n s n = 0. { displaystyle lim _ { n to infty } { frac { r_ { n } } { s_ { n } } } = 0. }
Các điều kiện kèm theo trên được gọi la điều kiện kèm theo Lyapunov .
Ta xét tổng mới
Sn=X1+…+Xn. Kỳ vọng của Sn là mn = ∑i=1..nμi và độ lệch chuẩn là sn. Nếu ta chuẩn hóa Sn bằng cách đặt
- Z n = S n − m n s n { displaystyle Z_ { n } = { frac { S_ { n } – m_ { n } } { s_ { n } } } }
thì phân phối xác suất của Zn hội tụ về phân phối chuẩn N(0,1).
Điều kiện Lindeberg[sửa|sửa mã nguồn]
Với những giả thiết khởi đầu như trong điều kiện kèm theo Lyapunov .Với mọi ε > 0
-
lim
n
→
∞∑
i
=
1n
E
(
(
X
i
−
μ
i
)
2
s
n
2
:
|
X
i
−
μ
i
|
>
ϵs
n
)
=
0{displaystyle lim _{nto infty }sum _{i=1}^{n}{mbox{E}}left({frac {(X_{i}-mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}:left|X_{i}-mu _{i}right|>epsilon s_{n}right)=0}
epsilon s_{n}right)=0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c860ea96116f9cbfbb5ac1f65f3c0b81542e9f”/>
trong đó E(U: V > c) là kỳ vọng có điều kiện: kỳ vọng của U với điều kiện V > c. Khi đó phân phối xác suất của Zn hội tụ về phân phối chuẩn N(0,1).
Trường hợp những biến ngẫu nhiên không độc lập[sửa|sửa mã nguồn]
Có một số định lý nghiên cứu trường hợp tổng của các biến ngẫu nhiên không độc lập, ví dụ định lý giới han trung tâm m-phụ thuộc (m-dependent central limit theorem), định lý giới hạn trung tâm martingal (martingale central limit theorem) và định lý giới hạn trung tâm cho quá trình hỗn hợp (central limit theorem for mixing processes).
