1. Cơ sở của không gian véctơ
- Trong không gian ${{mathbb{R}}^{n}}$ mỗi hệ gồm $n$ véctơ $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n}} right}$ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của không gian ${{mathbb{R}}^{n}}.$
Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=(1,2),{{P}_{2}}=(-2,1)$ là một cơ sở của không gian ${{mathbb{R}}^{2}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ.
Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=(1,0,0),{{P}_{2}}=(0,1,0),{{P}_{3}}=(0,0,1)$ là một cơ sở của không gian ${{mathbb{R}}^{3}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ ${{E}_{1}}=(1,0,0,…,0),{{E}_{2}}=(0,1,0,…,0),…,{{E}_{n}}=(0,0,0,…,1)$ là một cơ sở của không gian ${{mathbb{R}}^{n}}.$
2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở
- Giả sử hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n}}$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{n}}.$ Khi đó mọi véctơ $Xin {{mathbb{R}}^{n}}$ đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n}}$, tức là luôn tồn tại duy nhất $n$ số thực ${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}}$ sao cho $X={{alpha }_{1}}{{P}_{1}}+{{alpha }_{2}}{{P}_{2}}+…+{{alpha }_{n}}{{P}_{n}}.$ Bộ số $({{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}})$ được gọi là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n}} right}.$
- Ta đã biết rằng $({{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}})$ là nghiệm của hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $overline{A}=left( {{P}_{1}}{{P}_{2}}…{{P}_{n}}X right)$ trong đó ${{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n}},X$ viết dưới dạng cột.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ ${{v}_{1}}=(1,1,1),{{v}_{2}}=(1,1,2),{{v}_{3}}=(1,2,3)$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}} right}$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:
a ) $ { { v } _ { 1 } } = ( 2,1,1 ), { { v } _ { 2 } } = ( 6,2,0 ), { { v } _ { 3 } } = ( 7,0,7 ), v = ( 15,3,1 ). $
b ) $ { { v } _ { 1 } } = ( 0,1,1 ), { { v } _ { 2 } } = ( 2,3,0 ), { { v } _ { 3 } } = ( 1,0,1 ), v = ( 2,3,0 ). $
c ) $ { { v } _ { 1 } } = ( 1,2, – 1 ), { { v } _ { 2 } } = ( 2,3,0 ), { { v } _ { 3 } } = ( 5,7,2 ), v = ( 2, – 3,6 ). $
d ) $ { { v } _ { 1 } } = ( 1,2,3 ), { { v } _ { 2 } } = ( 1,3, – 2 ), { { v } _ { 3 } } = ( 2,3, – 1 ), v = ( 2, – 3,17 ). $
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} right}$ dưới đây
USD { { P } _ { 1 } } = ( 1,2, – 1,1 ), { { P } _ { 2 } } = ( 5,9,2, – 3 ), { { P } _ { 3 } } = ( 3,5,5, – 1 ), { { P } _ { 4 } } = ( 4,7,3, – 3 ) USD
là một cơ sở của $ { { mathbb { R } } ^ { 4 } } $ và tìm toạ độ của véctơ $ X = ( 2,2, – 3,0 ) USD trong cơ sở đó .
Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ ${{P}_{1}}=(2,1,1),{{P}_{2}}=(6,2,0),{{P}_{3}}=(7,0,m)$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{3}}.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ gồm 4 véctơ ${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,m)$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{4}}.$
Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(3,-2,4,1),{{X}_{2}}=(-2,1,3,-2),{{X}_{3}}=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}in {{mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $left{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} right}$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 2}&4&1\ { – 2}&1&3&{ – 2}\ { – 3}&{ – 1}&k&2\ a&b&c&d end{array}} right).$
Ta cần tìm USD ( a, b, c, d ) USD sao cho $ det ( A ) ne 0. $ Khai triển theo dòng 4 có :
USD begin { array } { c } det ( A ) = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + c { A_ { 43 } } + d { A_ { 44 } } = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + c { ( – 1 ) ^ { 4 + 3 } } left | { begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { – 2 } và 1 { – 2 } và 1 và { – 2 } { – 3 } và { – 1 } và 2 end { array } } right | + d { A_ { 44 } } = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + 15 c + d { A_ { 44 } }. end { array } $
Vậy ta chỉ cần chọn USD a = b = d = 0, c ne 0 $ khi đó $ det ( A ) = 15 c ne 0. $ Vậy USD { { X } _ { 4 } } = ( 0,0, c, 0 ), c ne 0. $
Ví dụ 7: Cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(2,k,4,-1),{{X}_{2}}=(-3,1,2,k),{{X}_{3}}=(6,-1,-4,-2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}in {{mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $left{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} right}$ là một cơ sở của ${{mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4&{ – 1}\ { – 3}&1&2&k\ 6&{ – 1}&{ – 4}&{ – 2}\ a&b&c&d end{array}} right).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $det (A)ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:
USD begin { array } { c } det ( A ) = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + c { A_ { 43 } } + d { A_ { 44 } } = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + c { A_ { 43 } } + d { ( – 1 ) ^ { 4 + 4 } } left | { begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và k và 4 { – 3 } và 1 và 2 6 và { – 1 } và { – 4 } end { array } } right | = a { A_ { 41 } } + b { A_ { 42 } } + c { A_ { 43 } } – 16 d. end { array } $
Vậy ta chỉ cần chọn USD a = b = c = 0, d ne 0 $ khi đó $ det ( A ) = – 16 d ne 0. $ Vậy USD { { X } _ { 4 } } = ( 0,0,0, d ), d ne 0. $
3. Cơ sở và số chiều của không gian con
Cho L là một khoảng trống con của $ { { mathbb { R } } ^ { 3 } }. $ Hệ véctơ $ left { { { P } _ { 1 } }, { { P } _ { 2 } }, …, { { P } _ { k } } right } $ nằm trong L được gọi là một cơ sở của L nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện kèm theo :
- Hệ $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{k}} right}$ độc lập tuyến tính;
- Mọi véctơ $Xin L$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{k}} right}.$
Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L và được kí hiệu là dimL .
Ví dụ 1: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})in {{mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{2}}=2{{x}_{1}} right}.$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véc tơ ${{P}_{1}}=(1,2,0),{{P}_{2}}=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 2: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})in {{mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0 right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 4: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})in {{mathbb{R}}^{3}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0 right}(a,b,cin mathbb{R};ane 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=left( -frac{b}{a},1,0 right),{{P}_{2}}=left( -frac{c}{a},0,1 right)$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0Leftrightarrow {{x}_{1}}=-frac{b}{a}{{x}_{2}}-frac{c}{a}{{x}_{3}}(ane 0).$
Vậy $ X = left ( – frac { b } { a } { { x } _ { 2 } } – frac { c } { a } { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 2 } }, { { x } _ { 3 } } right ) = left ( – frac { b } { a } { { x } _ { 2 } }, { { x } _ { 2 } }, 0 right ) + left ( – frac { c } { a } { { x } _ { 3 } }, 0, { { x } _ { 3 } } right ) = { { x } _ { 2 } } left ( – frac { b } { a }, 1,0 right ) + { { x } _ { 3 } } left ( – frac { c } { a }, 0,1 right ). $
Rõ ràng ${{P}_{1}}=left( -frac{b}{a},1,0 right),{{P}_{2}}=left( -frac{c}{a},0,1 right)$ độc lập tuyến tính vì không tỉ lệ nên hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=left( -frac{b}{a},1,0 right),{{P}_{2}}=left( -frac{c}{a},0,1 right)$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},4{{x}_{1}}-5{{x}_{2}})in {{mathbb{R}}^{3}} right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 9: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})in {{mathbb{R}}^{4}}|2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{4}}=0 right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 10: Cho không gian con $L=left{ X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in {{mathbb{R}}^{3}} right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 11: Cho không gian con $L=left{ X=(a,b,c,d)in {{mathbb{R}}^{4}}|2a+b=c-3d right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 12: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})in {{mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}-3{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0,4{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 13: Cho không gian con $L=left{ X=(4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+3,{{x}_{2}},{{x}_{3}},-3{{x}_{2}}+{{x}_{3}})in {{mathbb{R}}^{4}} right}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 14: Cho không gian con $L=left{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})in {{mathbb{R}}^{4}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0 right}(a,b,c,din mathbb{R};ane 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=left( -frac{b}{a},1,0,0 right),{{P}_{2}}=left( -frac{c}{a},0,1,0 right),{{P}_{3}}=left( -frac{d}{a},0,0,1 right)$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0Leftrightarrow {{x}_{1}}=-frac{b}{a}{{x}_{2}}-frac{c}{a}{{x}_{3}}-frac{d}{a}{{x}_{4}}(ane 0).$Vậy
USD begin { array } { c } X = left ( { – frac { b } { a } { x_2 } – frac { c } { a } { x_3 } – frac { d } { a } { x_4 }, { x_2 }, { x_3 }, { x_4 } } right ) = left ( { – frac { b } { a } { x_2 }, { x_2 }, 0,0 } right ) + left ( { – frac { c } { a } { x_3 }, 0, { x_3 }, 0 } right ) + left ( { – frac { d } { a } { x_4 }, 0,0, { x_4 } } right ) = { x_2 } left ( { – frac { b } { a }, 1,0,0 } right ) + { x_3 } left ( { – frac { c } { a }, 0,1,0 } right ) + { x_4 } left ( { – frac { d } { a }, 0,0,1 } right ). end { array } $
Rõ ràng $ { { P } _ { 1 } } = left ( – frac { b } { a }, 1,0,0 right ), { { P } _ { 2 } } = left ( – frac { c } { a }, 0,1,0 right ), { { P } _ { 3 } } = left ( – frac { d } { a }, 0,0,1 right ) USD độc lập tuyến tính nên hệ gồm bavéctơ $ { { P } _ { 1 } } = left ( – frac { b } { a }, 1,0,0 right ), { { P } _ { 2 } } = left ( – frac { c } { a }, 0,1,0 right ), { { P } _ { 3 } } = left ( – frac { d } { a }, 0,0,1 right ) USD là một cơ sở của L .
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH TM
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng nhà nước
– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và những trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước …
