Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên .
Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x), loge(x).
Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a ⇔ ea=x. Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì e2=7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0
Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số 0) là vùng dưới đồ thị
y
=
1
x
{displaystyle y={1 over x}}
Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này dẫn đến sự như nhau :
- e ln ( x ) = x khi x > 0 { displaystyle e ^ { ln ( x ) } = x qquad { mbox { khi } } x > 0 , ! }
0,!}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fce6905404071db5495ef2c27554447c009ccd”/>
- ln ( e x ) = x { displaystyle ln ( e ^ { x } ) = x , ! }
Như tổng thể những logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành cộng :
- ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y ) { displaystyle ln ( xy ) = ln ( x ) + ln ( y ) ! , }
Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng. Được miêu tả :
- ln : R + → R { displaystyle ln : mathbb { R } ^ { + } to mathbb { R } }
Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không riêng gì là số e. Tuy nhiên, logarit của những cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được định nghĩa bằng thuật ngữ ở đầu cuối. Logarit được sử dụng để giải những phương trình có số mũ là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời hạn chưa biết trong những yếu tố phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng trong nhiều nghành nghề dịch vụ của toán học và khoa học và được sử dụng trong kinh tế tài chính để xử lý những yếu tố tương quan đến lãi suất vay kép .
Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholas Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được công bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau.
Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên
[sửa|sửa mã nguồn]
Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ số này ” tự nhiên ” hơn cơ số e. Nhưng theo toán học thì số 10 không có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Ứng dụng của nó về văn hóa truyền thống – làm cơ sở cho nhiều mạng lưới hệ thống đánh số xã hội, có năng lực phát sinh từ đặc trưng những ngón tay của con người. Các nền văn hóa truyền thống khác đã dựa trên mạng lưới hệ thống số đếm của họ cho sự lựa chọn ví dụ điển hình như 5, 8, 12, 20, và 60 .Loge là logarit tự nhiên chính do nó được bắt nguồn và Open tiếp tục trong toán học. Ví dụ hãy xem xét những yếu tố phân biệt một hàm lôgarit :
- d d x log b ( x ) = d d x ( 1 ln ( b ) ln x ) = 1 ln ( b ) d d x ln x = 1 x ln ( b ) { displaystyle { frac { d } { dx } } log _ { b } ( x ) = { frac { d } { dx } } left ( { frac { 1 } { ln ( b ) } } ln { x } right ) = { frac { 1 } { ln ( b ) } } { frac { d } { dx } } ln { x } = { frac { 1 } { x ln ( b ) } } }
Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là
1
x
{displaystyle {1 over x}}
Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalis trong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và Gottfried Leibniz phát triển phép tính.
Những định nghĩa[sửa|sửa mã nguồn]
ln(x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f ( x ) = 1 x { displaystyle f ( x ) = { 1 over x } }
ln(x) được định nghĩa chính là diện tích dưới đường cong f (x) =
1
x
{displaystyle {1 over x}}
từ 1 đến x, gần giống như tích phân.
- ln ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x. { displaystyle ln ( a ) = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } , dx. }
Điều này định nghĩa một logarit vì nó cung ứng những đặc tính cơ bản của một logarit :
- ln ( a b ) = ln ( a ) + ln ( b ) { displaystyle ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b ) , ! }
Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép:
t
=
x
a
{displaystyle t={tfrac {x}{a}}}
- ln ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ( a ) + ln ( b ) { displaystyle ln ( ab ) = int _ { 1 } ^ { ab } { frac { 1 } { x } } ; dx = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } ; dx ; + int _ { a } ^ { ab } { frac { 1 } { x } } ; dx = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } ; dx ; + int _ { 1 } ^ { b } { frac { 1 } { t } } ; dt = ln ( a ) + ln ( b ) }
Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln ( a ) = 1 .
Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được định nghĩa là hàm ngược của nó, tức ln là hàm số sao cho
e
ln
(
x
)
=
x
{displaystyle e^{ln(x)}=x!}
Logarit tự nhiên trong giải tích[sửa|sửa mã nguồn]
Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn thuần theo dạng : g ( x ) = f ‘ ( x ) / f ( x ) : một nguyên hàm của g ( x ) được cho bởi ln ( | f ( x ) | ). Đó là một trường hợp chính do những quy tắc của chuỗi và thực tiễn sau đây :
- d d x ( ln | x | ) = 1 x { displaystyle { d over dx } left ( ln left | x right | right ) = { 1 over x } }
cách khác
- ∫ 1 x d x = ln | x | + C { displaystyle int { 1 over x } dx = ln | x | + C }
và
- ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C. { displaystyle int { { frac { f ‘ ( x ) } { f ( x ) } } , dx } = ln | f ( x ) | + C. }
Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):
- ∫ tan ( x ) d x = ∫ sin ( x ) cos ( x ) d x { displaystyle int tan ( x ) , dx = int { sin ( x ) over cos ( x ) } , dx }
- ∫ tan ( x ) d x = ∫ − d d x cos ( x ) cos ( x ) d x. { displaystyle int tan ( x ) , dx = int { – { d over dx } cos ( x ) over { cos ( x ) } } , dx. }
Đặt f(x) = cos(x) và f’(x)= – sin(x):
- ∫ tan ( x ) d x = − ln | cos ( x ) | + C { displaystyle int tan ( x ) , dx = – ln { left | cos ( x ) right | } + C }
- ∫ tan ( x ) d x = ln | sin ( x ) | + C { displaystyle int tan ( x ) , dx = ln { left | sin ( x ) right | } + C }
với C là một hằng số tùy ý của tích phân.
Logarit tự nhiên hoàn toàn có thể được tích hợp bằng cách sử dụng tích phân của những bộ phận :
- ∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − x + C. { displaystyle int ln ( x ) , dx = x ln ( x ) – x + C. }
Giá trị số[sửa|sửa mã nguồn]
Để tính giá trị số logarit tự nhiên của 1 số ít, dãy số Taylor lan rộng ra hoàn toàn có thể được viết lại như sau :
- ln ( 1 + x ) = x ( 1 1 − x ( 1 2 − x ( 1 3 − x ( 1 4 − x ( 1 5 − ⋯ ) ) ) ) ) f o r | x |
Để đạt được vận tốc tốt hơn của độ quy tụ, tính giống hệt sau đây hoàn toàn có thể được sử dụng :
- ln ( x ) = ln ( 1 + y 1 − y ) { displaystyle ln ( x ) = ln left ( { frac { 1 + y } { 1 – y } } right ) }
= 2 y ( 1 1 + 1 3 y 2 + 1 5 y 4 + 1 7 y 6 + 1 9 y 8 + ⋯ ) { displaystyle = 2 , y , left ( { frac { 1 } { 1 } } + { frac { 1 } { 3 } } y ^ { 2 } + { frac { 1 } { 5 } } y ^ { 4 } + { frac { 1 } { 7 } } y ^ { 6 } + { frac { 1 } { 9 } } y ^ { 8 } + cdots right ) }
= 2 y ( 1 1 + y 2 ( 1 3 + y 2 ( 1 5 + y 2 ( 1 7 + y 2 ( 1 9 + ⋯ ) ) ) ) ) { displaystyle = 2 , y , left ( { frac { 1 } { 1 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 3 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 5 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 7 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 9 } } + cdots right ) right ) right ) right ) right ) }
với
y
=
x
−
1
x
+
1
{displaystyle y={x-1 over x+1}}
Cho ln ( x ) vào x > 1, giá trị của x càng gần 1, vận tốc của sự quy tụ càng nhanh. Những sự giống hệt phối hợp với logarit tự nhiên hoàn toàn có thể được đẩy lên để khai thác điều này :
- ln ( 123.456 ) { displaystyle ln ( 123.456 ) ! }
= ln ( 1.23456 × 10 2 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 times 10 ^ { 2 } ) , ! }
= ln ( 1.23456 ) + ln ( 10 2 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 ) + ln ( 10 ^ { 2 } ) , ! }
= ln ( 1.23456 ) + 2 × ln ( 10 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 ) + 2 times ln ( 10 ) , ! }
≈ ln ( 1.23456 ) + 2 × 2.3025851 { displaystyle approx ln ( 1.23456 ) + 2 times 2.3025851 , ! }
Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tìm hiểu thêm bảng số và triển khai những thao tác như trên .
Độ đúng chuẩn cao[sửa|sửa mã nguồn]
Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số đúng chuẩn, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu suất cao vì sự quy tụ rất chậm. Vì vậy, những nhà toán học đã thay thế sửa chữa hướng này và sử dụng giải pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có sự quy tụ của dãy nhanh hơn .Cách tính khác cho hiệu quả có độ đúng chuẩn khá cao là công thức :
- ln x ≈ π 2 M ( 1, 4 / s ) − m ln 2 { displaystyle ln x approx { frac { pi } { 2M ( 1,4 / s ) } } – m ln 2 }
với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 1 và 4/s và:
- s = x 2 m > 2 p / 2, { displaystyle s = x , 2 ^ { m } > 2 ^ { p / 2 }, }
2^{p/2},}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9112c48134109921a878f975814c8ed33bd53fd”/>
với m được chọn sao cho p đạt đến sự đúng chuẩn. ( Đối với hầu hết những tác dụng, giá trị 8 của m là đúng. ) Trong trong thực tiễn, nếu giải pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton so với logarit tự nhiên hoàn toàn có thể được thống kê giám sát hàm mũ có hiệu suất cao. ( Hằng số ln2 và pi hoàn toàn có thể được đo lường và thống kê trước với độ đúng mực mong ước để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh gọn. )
