Đa tạp – Wikipedia tiếng Việt

Related Articles

Trên hình cầu, tổng những góc trong của một tam giác cầu không bằng 180 ° ( xem hình học cầu ). Mặt cầu không phải là một mặt Euclid, nhưng trong một vùng lân cận đủ nhỏ thì gần như tương tự như. Tại một vùng nhỏ trên mặt địa cầu, tổng những góc trong tam giác vẽ trên mặt đất là xê dịch 180 °. Mặt cầu hoàn toàn có thể được coi như một tập hợp những map phẳng, do đó mặt cầu chính là một đa tạp .

Một đa tạp tô pô

n

{displaystyle n}

n chiều là một không gian tô pô mà mỗi điểm có lân cận đồng phôi với tập con mở của

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

R^n, nói một cách khác, là không gian tôpô tách được với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide

n

{displaystyle n}

chiều. Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt.

A đa tạp là một không gian tô pô

M

{displaystyle M}

M thỏa mãn:[1]

Ta cũng có thể thay điều kiện các hàm trơn bằng các hàm khả vi

k

{displaystyle k}

k lần. Khi đó đa tạp được gọi là trơn bậc

k

{displaystyle k}

.

Ví dụ theo số chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Đường : Đa tạp một chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Một đa tạp tô pô 1 chiều là một không gian topo mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid

R

{displaystyle mathbb {R} }

mathbb{R}

Một đa tạp 1 chiều liên thông được gọi là 1 đường.

Nếu

f

:

R

R

{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }

f: RrightarrowR liên tục thì đồ thị của

f

{displaystyle f}

f là một đa tạp 1 chiều. (Nói chung, cho

f

:

R



D

{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow D}

{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow D} là một hàm liên tục, với

D

R

{displaystyle Dsubset mathbb {R} }

DsubsetRn là một tập mở. Khi đó, đồ thị của

f

{displaystyle f}

, tập

(

x

,

f

(

x

)

|

x

R

)

{displaystyle {(x,f(x)|xin mathbb {R} )}}

{displaystyle {(x,f(x)|xin mathbb {R} )}} là một không gian con của

R

{displaystyle mathbb {R} }

n+1, là một đa tạp

1

{displaystyle 1}

 1 chiều.)

Đường thẳng thực

R

{displaystyle mathbb {R} }

, đường tròn

S

1

{displaystyle S^{1}}

S^{1}, đường thẳng xạ ảnh

R

P

1

S

1

{displaystyle mathbb {R} P^{1}cong S^{1}}

R P^1 cong S^1 đều là các đa tạp một chiều.

  • Đường parabol

  • Hình vẽ cổ đại về những đường .
  • Các mặt cắt của hình nón là các đường cong được nghiên cứu ở Hy Lạp cổ: đường pa-ra-bôn, đường e-líp và đường hy-pê-bôn.

  • ■ hai đường tròn, ■ một đường pa-ra-bôn, ■ một đường hy-pê-bôn, ■ một đường bậc ba

Một đa tạp tô pô 2 chiều là một không gian topo Hausdorff mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid

R

{displaystyle mathbb {R} }

2

Một đa tạp 2 chiều liên thông được gọi là một mặt

Mặt phẳng là một mặt. Nó liên thông và Hausdorff. Cho điểm

p

R

2

{displaystyle pin mathbb {R} ^{2}}

pinR^2, quả cầu mở tâm

p

{displaystyle p}

, bán kính bằng 1 là một lân cận của

p

{displaystyle p}

và đồng phôi với hình đĩa mở. Hơn nữa, mặt phẳng có một cơ sở đếm được được cho bởi tập những quả cầu mở, bán kính hữu tỉ, tâm tại điểm

x

=

(

x

1

,

x

2

)

{displaystyle x=(x_{1},x_{2})}

 x = (x_1, x_2) với

x

1

,

x

2

{displaystyle x_{1},x_{2}}

 x_1, x_2 hữu tỉ.

Mọi tập con mở liên thông của mặt phẳng cũng là một mặt .Hình xuyến là một đa tạp 2 chiều

Dải Mobius là một đa tạp hai chiều .

  • Dải Mobius

Quả cầu

S

2

{displaystyle S^{2}}

 S^2 , mặt phẳng xạ ảnh thức

R

P

2

{displaystyle mathbb {R} P^{2}}

 R P^2 , chai Klein, hình trụ

S

1

×

R

{displaystyle S^{1}times mathbb {R} }

 S^1 times R , chai Klein bậc bốn (Klein quartic) đều là các đa tạp hai chiều.

Một mặt chứa một dải Mobius nhúng thì được gọi là một mặt không định hướng. Ngược lại thì là một mặt có định hướng.

3 – đa tạp : Đa tạp ba chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Một đa tạp 3 chiều là không gian topo trong đó mỗi điểm có lân cận đồng phôi với không gian Euclid 4 chiều

R

4

{displaystyle mathbb {R} ^{4}}

R^4.

Phần trong của khối lập phương, mặt cầu ba chiều

S

3

=

{

(

x

,

y

,

z

,

w

)

|

x

2

+

y

2

+

z

2

+

w

2

=

1

}

{displaystyle S^{3}=left{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1right}}

 S^3 = left{(x,y,z,w) | x^2+y^2+z^2+w^2 = 1right} , nhóm Lie – không gian xạ ảnh

S

O

(

3

)

R

P

3

{displaystyle SO(3)cong mathbb {R} P^{3}}

 SO(3) cong R P^3 , mặt xuyến

T

3

{displaystyle T^{3}}

 T^3 , các quả cầu đồng điều Poincaré (Poincaré homology spheres), đa tạp Whitehead, đạ tạp Weeks, Khối xuyến, Chai Klein rắn (Solid Klein bottle) đều là các đa tạp 3 chiều.

Một đa tạp 3 chiều là không định hướng nếu nó chứa 1 chai Klein (i.e. tồn tại một phép nhúng từ chai Klein tới đa tạp đó). Nếu không thì khi đó đa tạp 3 chiều được gọi là có định hướng.

4 – đa tạp : Đa tạp 4 chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Hình cầu ngoại lai (exotic),

R

4

{displaystyle mathbb {R} ^{4}}

, đa tạp

E

8

{displaystyle E8}

 E8 .

Đa tạp nhiều chiều hơn[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp vô hạn chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp Hilbert, đa tạp Banach, đa tạp Fréchet, đa tạp những phép đồng phôi trên một đa tạp vi phân .

Đa tạp con[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp con là một tập hợp con của một đa tạp mà chính nó là một đa tạp, nhưng có số chiều nhỏ hơn. Đường xích đạo của một hình cầu là một đa tạp con. Nhiều ví dụ phổ cập của đa tạp là đa tạp con của khoảng trống Euclid .

Một đa tạp con

M



N

{displaystyle Msubset N}

{displaystyle Msubset N} cũng là một phép nhúng

ι

:

M



N

{displaystyle iota :Mto N}

{displaystyle iota :Mto N}.

Các đối tượng người tiêu dùng điều tra và nghiên cứu[sửa|sửa mã nguồn]

Mỗi lớp những đối tượng người dùng điều tra và nghiên cứu sau đây lập thành một phạm trù. Ta có phạm trù những đa tạp đại số, những đa tạp với biên, những đa tạp với góc cạnh, vân vân .

Đa tạp đại số[sửa|sửa mã nguồn]

Xét tập hợp tất cả các điểm

(

z

1

,

z

2

,

.

.

.

,

z

n

)

{displaystyle (z_{1},z_{2},…,z_{n})}

 (z_1, z_2,..., z_n) trong không gian phức

n

{displaystyle n}

chiều thỏa mãn hệ phương trình dạng

F

i

(

z

1

,

z

2

,

.

.

.

,

z

n

)

=

0

;

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

{displaystyle F_{i}(z_{1},z_{2},…,z_{n})=0;i=1,2,…,s}

 F_i (z_1, z_2,..., z_n) = 0; i = 1, 2,..., s trong đó

F

i

{displaystyle F_{i}}

 F_i là các đa thức của các biến số

z

1

,

z

2

,

.

.

.

,

z

n

{displaystyle z_{1},z_{2},…,z_{n}}

 z_1, z_2,..., z_n .

  • Nếu các F i { displaystyle F_ { i } }z j ( j = 1, 2 ,. .., n ) { displaystyle z_ { j } ( j = 1,2, …, n ) } z_j (j = 1, 2,..., n) đa tạp tuyến tính
  • Nếu các hệ số của F i { displaystyle F_ { i } }

Đa tạp với biên ( manifold with boundary )[sửa|sửa mã nguồn]

Một tờ giấy dài vô hạn nhưng rộng hữu hạn là một đa tạp 2 chiều với biên 1 chiều. Biên của một đa tạp n chiều với biên là một đa tạp (n-1) chiều. Một đĩa (vòng tròn cộng với phần trong) là đa tạp 2 chiều với biên. Biên của nó là một vòng tròn, một đa tạp 1 chiều. Một quả bóng (hình cầu cộng với phần trong) là một đa tạp 3 chiều với biên. Biên của nó là một mặt cầu, đa tạp 2 chiều.

Đa tạp với biên là một không gian có chứa cả điểm trong và các điểm biên. Tất cả các điểm trong có một lân cận đồng phôi với quả cầu

n

{displaystyle n}

-chiều mở

{

(

x

1

,

x

2

,

.

.

.

,

x

n

)

|

Σ

x

i

2

. Tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với “một nửa” quả cầu

n

{displaystyle n}

-chiều

{

(

x

1

,

x

2

,

.

.

.

,

x

n

)

|

Σ

x

i

2

. Các đồng phôi phải biến mỗi điểm biên thành một điểm có

x

1

=

0

{displaystyle x_{1}=0}

 x_1 = 0 .

Đa tạp với góc cạnh (manifold with corners)

[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp với góc cạnh khác đa tạp với biên ở điều kiện đồng phôi địa phương. Tất cả các điểm trong vẫn có một lân cận đồng phôi với quả cầu

n

{displaystyle n}

-chiều mở

{

(

x

1

,

x

2

,

.

.

.

,

x

n

)

|

Σ

x

i

2

. Một góc bậc

{displaystyle 0}

{displaystyle 0} là một điểm trong. Một góc bậc

1

{displaystyle 1}

là một điểm tại biên. Một góc bậc

2

{displaystyle 2}

{displaystyle 2} không phải là một điểm trong hay một điểm tại biên Một hình vuông hay một tờ giấy hữu hạn tính cả phần trong cũng là một đa tạp 2 chiều với góc cạnh.[2]

Đa tạp phức[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp Riemann[sửa|sửa mã nguồn]

Đa tạp symplectic.

[sửa|sửa mã nguồn]

Một số định lý tương quan đến đa tạp[sửa|sửa mã nguồn]

Định lý nhúng Whitney[sửa|sửa mã nguồn]

Trong toán học, đặc biệt quan trọng trong Topo vi phân, có hai định lý nhúng Whitney, được đặt theo tên nhà toán học người Mỹ, Hassler Whitney ( 1907 – 1989 ) .

  • Định lý nhúng Whitney mạnh phát biểu rằng bất kì đa tạp m { displaystyle m }m2 m { displaystyle 2 m }2m( R ) 2 m { displaystyle ( mathbb { R } ) ^ { 2 m } }(R)^{2m}m > 0 { displaystyle { m > 0 } }0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecef8c7cedee5c7adef035ce30f62270f40d997e”/>m { displaystyle m }m { displaystyle m }2 m − 1 { displaystyle { 2 m – 1 } }{2m-1}m { displaystyle m }
  • Định lý nhúng Whitney yếu phát biểu rằng bất kỳ hàm liên tục từ đa tạp n { displaystyle n }m { displaystyle m }m > 2 { displaystyle { m > 2 } }2}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3906b7003cf8d9273c2db78c3b8f420bca75979f”/>m > 2 n − 1 { displaystyle m > 2 n – 1 }2n-1″ class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5f72fe290d254ffbf93c2aff7b023744242ff4″/>

Định lý đa tạp không thay đổi[sửa|sửa mã nguồn]

Đặt:

f

:

U

R

n

R

n

{displaystyle f:Usubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}

 f: Usubset R^n to R^n

là 1 ánh xạ trơn với điểm hypebon cố định tại

p

{displaystyle p}

. Chúng ta ký hiệu

W

s

(

p

)

{displaystyle W^{s}(p)}

 W^s (p) tập hợp ổn định và

W

u

(

p

)

{displaystyle W^{u}(p)}

 W^u (p) tập hợp không ổn định của

p

{displaystyle p}

. Định lý [1][2][3] phát biểu rằng:

W

s

(

p

)

{displaystyle W^{s}(p)}

là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian ổn định của khi tuyến tính hóa

f

{displaystyle f}

tại

p

{displaystyle p}

.

W

u

(

p

)

{displaystyle W^{u}(p)}

là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian không ổn định khi tuyến tính hóa

f

{displaystyle f}

tại

p

{displaystyle p}

.

Theo đó,

W

s

(

p

)

{displaystyle W^{s}(p)}

là một đa tạp ổn định và

W

u

(

p

)

{displaystyle W^{u}(p)}

là một đa tạp không ổn định.

Định lý Birkhoff[sửa|sửa mã nguồn]

– Nhà toán học người Mỹ, Garrett Birkhoff (1911 – 1996) đã chứng minh tương tự hai định nghĩa của đa tạp ở trên, một kết quả có ý nghĩa cơ bản với đại số phổ quát và được biết đến như định lý Birkhoff hoặc là định lý HSP. H, S, và P viết tắt cho những phép tính đóng của phép đồng hình, đại số con và tích số.

– Một lớp phương trình (equational class) ký hiệu Σ nào đó, là tập hợp của tất cả mô hình, theo ý nghĩa của lý thuyết mô hình, nó đã thỏa tập hợp phương trình E nào đó, (asserting equality between terms). Một mô hình thỏa những phương trình đó nếu chúng đúng trong mô hình cho mọi giá trị của biến. Những phương trình trong E sau đó được gọi là những đồng nhất thức của mô hình. Ví dụ của những đồng nhất thức đó là luật giao hoán, đại số giao hoán đặc trưng, và luật hút thu, dàn (lattices) đặc trưng.

– Dễ dàng thấy rằng lớp đại số thỏa tập hợp phương trình nào đó sẽ đóng trong phép toán HSP. Chứng minh ngược lại – các lớp đại số đóng trong phép toán HSP phải thuộc phương trình – sẽ khó hơn nhiều.

  • Colin Adam và Robert Franzosa, Introduction to topology: pure and applied
  • Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

  • Đa tạp và bài toán Poincaré tại Diễn đàn toán học.

More on this topic

Comments

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Advertismentspot_img

Popular stories